正則變換

02-12

我們知道，對於一個力學體系，如果可以寫出體系的哈密頓函數： $H(q,p,t)=Sigma p_{i}dot{q_{i}} -L$ ，那麼就可以通過解正則方程 $dot{q_{i}}=frac{partial H}{partial p_{i}}, dot{p_{i}}=-frac{partial H}{partial q_{i}}$ ，來求得系統的演化。

有時，我們會希望把獨立變數p、q變換為另一組變數P、Q： $Q_{i}=Q_{i}(q,p,t), P_{i}=P_{i}(q,p,t).$ 然而，並不是說我們隨手寫一個變換關係，運動方程（用新的變數表示）都能保持正則方程的形式（也就是說，我們希望能找到一個函數K，使新的運動方程能夠寫成： $dot{Q_{i}}=frac{partial K}{partial P_{i}},dot{P_{i}}=-frac{partial K}{partial Q_{i}}.$ 的形式）。

那麼我們就來探究什麼樣的變換能夠保持運動方程的形式~這樣的變換，稱為「正則變換」。

根據最小作用量原理（又稱作哈密頓原理），已知 $delta int_{}^{} (sum_{i}p_{i}dq_{i}-Hdt)=0.$ 成立，並且希望下式也成立： $delta int_{}^{} (sum_{i}P_{i}dQ_{i} -Kdt)=0.$

根據變分原理，如果兩個式子中，被積分的部分僅僅相差一個函數F的全微分（F是廣義坐標、廣義動量和時間的函數），那麼這一項對應的積分值是常數，變分自然為0，從而運動方程的美麗形式得到了保留！

所以，我們取： $sum_{i} p_{i}dq_{i}-Hdt=sum_{i}P_{i}dQ_{i}-Kdt+dF.$

滿足這個關係的變換就是正則變換。

上面的關係可以改造為： $dF=sum_{i} p_{i}dq_{i}-sum_{i}P_{i}dQ_{i}+(K-H)dt.$

進而能夠看出關係： $p_{i}=frac{partial F}{partial q_{i}},P_{i}=-frac{partial F}{partial Q_{i}},K=H+frac{partial F}{partial t}.$

經過仔細的考慮，不難意識到，函數F（稱之為「生成函數」）與正則變換是對應的。如果給定一個生成函數F，就能求得正則變換的形式。具體來說，首先藉助方程 $p_{i}=frac{partial F}{partial q_{i}}$ 反解出Q(q,p,t)，得出新的廣義坐標與老坐標、老動量的關係；再將這個關係代入 $P_{i}=-frac{partial F}{partial Q_{i}}$ ，輕鬆得到新動量與老坐標、老動量的關係。

反過來說，根據給定的正則變換關係式，也可以推出生成函數F的具體表達式。藉助變換關係，將p、P（作為q、Q、t的函數）寫出，然後根據偏微分關係： $p_{i}=frac{partial F}{partial q_{i}},P_{i}=-frac{partial F}{partial Q_{i}},K=H+frac{partial F}{partial t}.$ 原則上就可以積分得到F。當然咯，這個積分的過程可能會不太好搞...如果退一步，只需要驗證某一個變換是不是正則變換，那隻需要根據變換方程寫出P、p的具體形式（q、Q、t的函數），將P對q求導，將p對Q求導，比較導數是否相等，就可以了（F的二階導可交換順序）。

有的時候，像上面那樣採用q、Q表示生成函數可能會顯得不方便。怎麼辦呢？我們可以直接用Legendre變換，把獨立變數「改」一下。舉個栗子，如果我們想用q和P表示生成函數，只需要將之前的公式 $dF=sum_{i} p_{i}dq_{i}-sum_{i}P_{i}dQ_{i}+(K-H)dt.$ 改寫為：

$d(F+sum_{i}P_{i}Q_{i})=sum_{i} p_{i}dq_{i}+sum_{i}Q_{i}dP_{i}+(K-H)dt.$ 左邊的部分就是新的生成函數的微分，我們把這個函數記為 $Phi$ ，就有關係：

$p_{i}=frac{partial Phi}{partial q_{i}},Q_{i}=frac{partial Phi}{partial P_{i}},K=H+frac{partial Phi}{partial t}.$ （同樣道理，我們可以在獨立變數取作p、Q或者p、P的情況下，計算出類似的變換形式）。

正則變換有很多用處，其中之一就是用於導出另一種運動方程——Hamilton-Jacobi方程。