Irreducible Representation of Finite Groups（3）

今天是有限群的不可約表示的最後一節，我們會經過一系列枯燥無味的代數推導得到一個關於不等價的不可約表示個數的結果。

首先我們來決定單代數的一些維數關係。

這個引理的證明只需要注意到ker(f)與im(f)即可。

下面這個定理是這節的核心定理：

這個定理的證明就是在不斷的定義數乘，乘法，把他們變成線性空間、環等等，寫的證明也比較簡單，幾乎可以無視掉。。。但是這個結果非常重要。

這個定理告訴我們，一個單代數同構於一個除環的矩陣環，所以我們可以研究除環的矩陣環的分解，從而得到代數的分解：

這就是我們給出的矩陣環的極小左理想分解。這樣我們幾乎就確定了單代數B的直和分解。我們最後給出一個「最終定理」，結合了最近幾節的結果：

這個結果給出了一個有限維半單代數的分解，而且得出，半單代數作為K上的線性空間的維數等於不同構的極小左理想作為K上的線性空間維數乘以作為除環上的代數維數的和。

現在我們進一步限制K是代數閉的，這樣每個線性變換都有特徵值，從而可以進一步的優化A的維數的表達。

最後的最後，我們來把上文所述的半單代數改成與群表示相關的K[G],看看可以得到什麼結果：

這個定理完全決定了G的不等價不可約表示的數目，就是G的共軛類數目。

由於將Ａ換成K[G]之後， dim(A)=G的元素個數，A的極小左理想的維數就是不可約表示的次數，本原中心冪等元的個數就是不等價的不可約表示的數目，所以我們給出了G的元素個數與不等價的不可約表示之間的平方和關係。

到此我們採用代數方法完全確定了不可約表示的結構與數目，這就是這一章的最終目的。

由於時間關係，就不給大家寫例子了，但是這一節應該是有非常多的例子，尤其是當Ｇ變成置換群的時候，例子是非常豐富的。這方面的例子可以見《群的表示與群的特徵(第2版)(英文版)》 詹姆斯 (James.C.)【摘要 書評 試讀】圖書的第11章，裡面有比較詳細的關於置換群的共軛類的討論。

現在我們已經決定了Ｇ的不可約表示的個數，那麼我們自然會問，如何確定一個表示是不是不可約表示呢？如何確定兩個不可約表示是否等價呢？我們下一節就會採用一種新的工具來研究這兩個問題，就是所謂的「特徵標」，我們將會定義一種新的工具來繼續研究。

下次（不知道什麼時候）再見啦！

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