Irreducible Representation of Finite Groups（2）

這次我們來決定域K上的半單代數的直和分解，即直和項的結構與直和項的個數。由於任意一個不可約群表示都對應於一個K[G]的不可約左模，所以我們來研究半單代數的不可約左模，來討論他們的個數與結構。

所謂半單代數，就是一個代數A，使得所有A-左模都是完全可約的。

我們來討論一下如何判斷一個代數是半單的。

第一個判別準則：

即A半單當且僅當A是完全可約的。也就是說，如果A完全可約，那麼任意一個左A-模都完全可約。反之是顯然的。

第二個判別準則：

這裡的Rad(A)就是指A的所有極大左理想的交。

此定理的證明見《有限群表示論(第2版)》 曹錫華, 時儉益【摘要 書評 試讀】圖書

現在我們假設A是半單代數。

A一定是一個左A-模，所以A自身就是完全可約的。假設A有如上的直和分解（分解成不可約子模）。我們要得到第一個刻畫不可約左模的結構的定理：

即任意一個不可約左A-模都同構於一個不可約子模。也就是說，通過A的不可約子模分解，我們已經刻畫了所有不可約左A-模的結構。

接下來我們來刻畫不同的不可約左模的個數。

首先是來自群論的一個結果

這個定理就是說，如果A是半單的，那麼A的任意兩種不可約子模直和分解中，不可約子模的個數相同，而且經過適當排序，兩種分解中不可約子模可以按照某種配對同構。（本質上，這個定理就是肯定了直和分解的唯一性。）

繼而，我們可以按以下方式重寫A的分解：

其中第一個下標相同的子模彼此同構。我們之前說過，不可約子模直和分解等價於不可約左理想直和分解，或者我們也可以叫做極小左理想分解：

關於極小左理想分解有以下兩個定理非常重要：

類似極小左理想，我們可以定義極小雙邊理想：

定義了極小雙邊理想後，我們將會發現極小雙邊理想分解與不可約左模的個數有很大關係：

這裡，就是把所有同構的極小左理想的直和寫成（我們將會證明這個是個極小雙邊理想），之後由於每一個不可約左模同構於，所以所有不同構的左模的個數就等於這些不同的極小雙邊理想的個數，也就是s。

如上我們給出了所有不可約左A-模的刻畫。

下次更新就是「有限群的不可約表示」這一節的最後一部分，我們來研究單代數的結構，就是上文中的，來討論他的維數等性質。之後我們回到群表示，來最後討論不等價的不可約群表示的性質。

謝謝閱讀！
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