Irreducible Representation of Finite Groups（1）

今天我們來學習一種全新的研究表示論的方法或角度，通過模論來研究。我們將看到，表示的一些性質和某些模的性質有著密切的關係。這個模就是所謂G的「表示模」K[G]：

先給出K[G]的定義，就是個「單項式」的和，它們的係數都來自於K。

K[G]是K上的一個線性空間，事實上，他就是G的正則表示的表示空間。

也可以賦予環結構，使得它成為一個環。

這就引出了代數的定義：

簡而言之，代數是指一個與數乘運算相容的環。可以驗證，K[G]是一個K上的代數，稱為群代數。

代數同態的定義也是非常容易理解的。

引入了群代數之後，我們來探究群表示與這個代數之間的關係。

給定一個群表示，我們可以把它擴張成一個K[G]的表示；同樣的，給定一個K[G]的表示，都可以限制為一個群表示。所以我們可以認為G與K[G]的表示是一樣的，我們就可以研究k[G]的表示來研究G的表示。

任給是K[G]的一個表示，通過定義，可以把V變成K[G]上的一個左模；

反之，設V是K[G]的一個左模，則V就成為K上的線性空間，再定義，可以驗證這有定義了一個K[G]的表示。

所以我們得到了第一個代數角度的結果：

G的表示空間都是K[G]的左模，K[G]的左模也可以是G的表示空間。

所以，一些關於表示空間的性質可以「轉移」到左模上來。

首先是關於子表示。

V的一個子空間U是G被不變子空間（子表示）U是V的一個子模。

也就是說，V的子表示空間都是V的子模。

其次是關於表示的分解：

能夠分解成兩個子表示的直和V也能分成兩個子模的直和。

相應的：

不可約V是單模（沒有非平凡的子模）。

通過類比我們也可以得出：

完全可約V完全可約。

讀者也可以自行類比，得出其他結論（比如表示的等價與模同構等等）

總而言之，我們要研究G的表示，完全可以轉而研究K[G]。

而我們將以上所講與Maschke定理比較，就得出：

當char(k)不整除G的階時，每一個k[G]-左模都完全可約。也就是我們可以把K[G]分解成有限個不可約子模的直和。我們有理由相信，在這樣的不可約分解中藏有表示的信息。所以我們接下來就要考慮K[G]的直和分解。而我們也要用到其他的代數工具，比如半單代數、單代數、環的冪等元系等等。

我們先來介紹環的冪等元系和直和分解：

從而我們有了第一個定理：

當R有左理想分解時，組成單位元的那些元素都是OIE.反之，如果OIE組成了一個元素x，那麼Rx就可以分解成這些正交冪等元生成的左理想的直和。

這個定理告訴我們，如果想求一個環的左理想直和分解，我們可以去找一組正交冪等元來分解。如果更進一步，我們希望分解的是「最小的」，即都是不可約左理想。

也就是說，要想變成不可約的左理想的直和，就必須要求1寫成本原OIE的和。

更進一步的，還可以寫成雙邊理想的直和，此時就要求這些OIE是屬於中心的。

（以上證明都是可以直接驗證的，請讀者自行搞定。）

關於最後的中心本原OIE，有以上的兩個性質補充。

總而言之，我們把尋找G的不可約表示的直和轉化成了尋找K[G]-左模的不可約直和分解，又討論了K[G]可以分解的條件（1寫成本原OIE的和）。下次我們會看到，K[G]-左模的可分解性與K[G]的分解性很有關係，而且我們還可以決定不可約子模的個數。這些我們以後再講。

（今天寫的有些倉促了，如果需要哪裡的證明，請評論或私信吧，我改天一定補上。QAQ）

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