The Representation of Abelian Groups

今天我們來說說阿貝爾群的表示。阿貝爾群由於交換性，具有非常好的表示性質。所以今天的內容也比較容易理解，可以當作是定義之後的一個例子。

我們先來看阿貝爾群的復表示（我們都考慮不可約表示且是有限維的）。由於群里的元素可交換，即,從而.因此屬於的特徵子空間也是的不變子空間，進而是G的不變子空間。由於是不可約表示，所以，於是是V上的數乘變換（乘以特徵值）。如果dimV>1,則在某一組基下的矩陣是一個對角矩陣,這表示是可約的，矛盾。

所以我們證明了如下定理

通過如上的說明，顯然可以看出定理證明的關鍵在於，複數域上總是有特徵值。所以如果把複數域換成任意一個代數閉域，結論依然成立。

注意：以上定理適合於有限或無限Abelian群。

更進一步，如果G是有限群，設其所有元素階的最小公倍數為d，則有（任意g），從而有一個化零多項式。如果表示域F含有d階本原單位根，則f(x)在F中有d個根。由於的極小多項式是f(x)的因式，所以在F中有特徵值。所以，一個有限阿貝爾群在這樣的域上的不可約表示都是一次的。

現在我們來決定所有有限阿貝爾群的一次復表示。

首先注意到有限阿貝爾群結構定理：

（圖中直和在我們這裡變成直積）

即G可以分解成有限多個循環子群的直積，而且每一個子群的階都是素數冪（彼此間的素數可以相同）。

現設我們已經給出了G的一個分解：

,其中,我們設這個素數冪次的本原單位根為，從而G中任意元素g都可以唯一表示成：

。由於,由於，所以,於是，我們把它對應到G中的元素.

反之，任意給定G中的元素，另.可以證明這是G的一個復表示。把G的所有一次復表示集合記作.

請讀者自證（實在懶得寫了），如上給出的對應是到G的雙射。

所以我們有如下定理：

就是說G的一次復表示同構於G。

如上我們就刻畫了有限阿爾貝群的所有一次復表示。

請讀者試決定以下群的一次復表示：

1. n階循環群
2. （2，4）型8階阿貝爾群

然後可以直接驗證如下定理：

也請讀者自行寫出的所有一次復表示。

至此我們刻畫了有限阿貝爾群的不可約表示。所以將後我們就要開始討論非交換群的表示，而我們將會用到新工具——模。所以下次更新我們就來討論一點模，之後將會開始學習不交換的群表示。

謝謝閱讀！
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