Basic Definitions

鑒於今天事情比較多，就偷個懶少寫一點點吧。。。

需要注意的是這裡表示的定義是普適的。無論是群還是後面的李群，都是定義為到一個線性空間上的變換的同態。

定義好了表示之後，我們需要對它們分類，這個分類不同地方有些差異，如果發現不太對勁的話。。我也沒什麼辦法。

需要說明的幾點：

1. 定義1中的G-不變子空間也可以叫做子表示，或是不變子表示。
2. 不可約是指V沒有不平凡的子表示。完全可約是指對任意一個子表示，都存在它的補表示（直和項以及是子表示）。注意：不可約也是完全可約。
3. 不可約的「對立」是所謂「可分表示」（decomposable representation） 定義為： 若V=能寫成兩個不變子空間的直和，就稱為可分。
4. 還有一些非常容易證明的性質：若與一個不可約（可分，完全可約）表示等價，則也不可約（可分，完全可約）。

之後我們就遇到了第一個有趣的定理，它刻畫了一個有限群的表示。

1. 第一個定理是顯然的，只要取子空間一直分解下去，由於維度有限，分解也有限。

2. 第二個定理【Maschke】的證明如下

（手寫太丑勿噴啦）

這是一個比較平常的證明，也比較容易理解。

以下給出一個我認為比較有趣的證明，來自《有限群的表示論》 B.斯坦博格 (Benjamin Steinberg)【摘要 書評 試讀】圖書

雖然這個證明是針對實數、複數域的，而且比較複雜，但是它巧妙的引入了內積空間、酉表示的概念，可以說是非常有意思了：（證明並不困難，可以放心食用）

啊好了我要去打乒乓球了，今天就到這裡吧（滿足於一個定義一個定理的戰五渣），下次我們來討論一下阿貝爾群的表示。我們將會看到阿貝爾群的表示性質比較優良，容易把握。

溜了溜了

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