羅素悖論——正則性公理

02-12

2017.1.9更新，感謝Frankenstein在評論區指出的錯誤並且給出(2)的正確證明

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（本文為讀《陶哲軒實分析》的筆記）

在《陶哲軒實分析》的中文版中，我發現其對正則性的描述是有誤的。

中文版的描述為：「如果A是一個非空的集合，那麼A至少含有一個元素x,它要麼不是集合，要麼是與A不同的集合。"

而英文版的描述為：「 If A is a non-empty set, then there isat least one element x of A which is either not a set, or is disjointfrom A.」其中disjoint應該翻譯為不交,定義如下：

而且」原版「中也寫出不交的概念與不等的概念是不一樣的。因此」中文版「中的錯誤是明顯的。

wiki上的定義如下

或者

所有非空集合 A 中至少有一個這樣的元素 x ，它與A 本身的交集為空集。即

正則性公理是為了防止羅素悖論，在陶的習題3.2.2中得以解釋。

（1）.證「如果A是集合，那麼 $A otin A$ 」

如果A是一個集合，那麼A也是一個對象（公理3.1）

集合B={ A }(公理3.3 單元素集)

若 $Ain A$

又因為 $A in left{ A ight}$

所以 $Acap left{ A ight} =left{ A ight}$ （A各為兩個集合的元素）

B的唯一元素為A，且A為集合，所以由正則性公理，可得 $Acap left{ A ight} =emptyset$

則 $Ain emptyset$ ，因為沒有元素屬於空集，故矛盾。

（2）.證如果A和B是集合，那麼或者 $A otin B$ 或者 $B otin A$ ，或者兩者同時成立。

若 $Bin A$ 且 $Ain B$

則考慮集合 $left{ A,B ight}$

$Acap left{ A,B ight} supseteq left{ B ight}$

且

$Bcap left{ A,B ight} supseteq left{ A ight}$

違背正則公理，則 $Bin A$ 與 $Ain B$ 不能同時成立，因為兩集合之間關係 $in$ 或者 $otin$ ，所以原命題成立。

（有誤請指出...知乎的公式編輯器不是很會用）