小議三元輪換不等式（更新中

02-11

輪換對稱真美啊！

輪換的代數對稱式往往是齊次的比較好處理，對於齊次的代數不等式我們有以下工具：

Power-Mean（冪平均不等式）

對於正實數 $a_{1},a_{2},...,a_{n}$ ，定義 $M_{gamma}(a_{1},a_{2},...,a_{n})=$ $(sum_{i=1}^{n}{a_{i}^{gamma}})^{frac{1}{gamma}}$ $(gamma e0)$

為其 $gamma$ 次冪平均. 我們約定 $M_{0}(a_{1},a_{2},...,a_{n})=prod_{i=1}^{n}a_{i}^{frac{1}{n}}$ . 則當 $alpha>eta$ 時，

有 $M_{alpha}(a_{1},a_{2},...,a_{n})>M_{eta}(a_{1},a_{2},...,a_{n})$ .

（取 $alpha=1，eta=0$ 就是AM-GM不等式.)

Murihead不等式（三元形式）

對於正實數 $a_{1},a_{2},a_{3}$ ，實數 $m_{1},m_{2},m_{3},n_{1},n_{2},n_{3}$ 滿足 :

$m_{1}+m_{2}+m_{3}=n_{1}+n_{2}+n_{3}, m_{1}geq n_{1}, m_{1}+m_{2}geq n_{1}+n_{2}$

則 $sum_{sym}{a_{1}^{m_{1}}a_{2}^{m_{2}}a_{3}^{m_{3}}}geq sum_{sym}a_{1}^{n_{1}}a_{2}^{n_{2}}a_{3}^{n_{3}}$ .

（這是下文中介紹的Karamata不等式的特殊形式，不難直觀上作理解：當底數充分地大（極端情況）時，自然是指數分配得「更不均勻」的式子值更大一些.)

例：

這兩個不等式有時會放縮得過頭了，一般我們會用下面的不等式作為無計可施時的「逃生通道」：

Schur不等式

設 $x,y,zgeq0,r>0,$ 則 $sum_{cyc}{x^{r}(x-z)(x-y)}geq0$ .

例：

一些輪換式帶有分母和根式，我們可以用下面的不等式把它們處理掉，轉化成齊次的來做.

Holder不等式（三元形式）

例： $a,b,cin R^{+}, sum_{cyc}{frac{a}{sqrt{a^2+8bc}}}geq1.$