電磁場的量子化（二）

本章（以及下章）的內容是自由電磁場的量子化，即不含電荷、電流的電磁場的量子化。

開始正文內容前先講一下橫波和縱波的概念。這個概念後面要用到。

一個矢量平面波，如果它的振動方向和波矢垂直，那麼就叫做橫的。如果它的振動方向和波矢同向，那麼就叫做縱的。

任意一個矢量場都可以寫成平面波的疊加。如果一個矢量場完全由橫的平面波疊加而成，那麼就叫做橫波（或橫場）。如果一個矢量場完全由縱的平面波疊加而成，那麼就叫做縱波（或縱場）。

很容易可以看出，橫的平面波的梯度為0，因此橫的平面波疊加而成的橫波的梯度也為0。縱的平面波的旋度為0，因此縱的平面波疊加而成的縱波 的旋度也為0。

於是也可以等價的定義：橫波是梯度為0的場，縱波是旋度為0的場。當然，這樣的定義就不太能直觀的反映出「橫、縱」的意義了。

很容易看出，任何一個矢量場都可以分解為橫波和縱波部分。

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下面開始正文。

自由電磁場的麥克斯韋方程為：

要直接找出廣義坐標和廣義動量，看起來比較困難。主要是裡面涉及梯度，散度等運算，會把不同r處的場耦合起來。

如果用平面波做一個分解，問題就會變得簡單很多。

在量子光學中，一般把問題局限在一個很大的有限方形空間中，並施加周期性邊界條件來解。這個相當於什麼呢，就相當於用一個超大周期的傅立葉級數，去模擬傅立葉變換（所以有周期性邊界條件）。如果考察的函數，主要局域在很小的範圍內（遠遠小於選定傅立葉級數的周期），那麼這種方法就是合理的（換成量子光學的語言就是，我們考察的系統所佔的空間，遠遠小於我們選擇的很大的有限方形空間）。

我們選這個很大的有限方形空間為長寬高皆為L的立方體。這個立方體內的矢量函數，都能用施加了周期邊界條件的平面波進行展開。

重複一遍，選擇周期性邊界條件，並不是因為我們遇到的電磁場真的滿足周期性條件，只是為了對無窮大的情況進行近似。

那麼會不會遇到真實存在的邊界條件呢？會的。舉個例子，腔量子電動力學中，實驗在一個金屬全反射腔內進行。這時我們就在理論上對應的加上「電磁場在邊界處為0」這一邊界條件，從而讓電磁場做駐波展開。這個邊界條件是物理上真實存在的，而不像周期性邊界條件是為了數學上方便處理而引入的。

介紹了上述概念，現在就讓我們在周期性邊界條件將麥克斯韋方程組按平面波進行分解。

設

由周期性邊界條件，,其中為任意整數。

是電場對平面波的分解係數，是個矢量。不同的之間並不是完全獨立的，這是因為電磁場必須是實數，這就導致有一個約束條件

請記得「不同的之間並不是完全獨立的」這一點。之後還會回到這個問題上來。

對平面波進行梯度，散度等操作非常容易。因為：

因此，關於電場磁場散度為0的條件，就可以在平面波分解下表示為：

於是都在與垂直的平面上。於是可以選擇一組正交歸一基矢進行分解。定義指標，其中s=1或2，用來區別對應於同一個的兩個基矢量。

關於基矢選擇的convention，稍顯繁瑣，不細講了。可以參考各種書籍。

選擇了基矢之後，我們就可以把麥克斯韋方程的最後兩個

寫為基矢分量的形式：

看起來，這很像簡諧振子的運動方程。似乎只要取相應的倍數，就可以把取為廣義坐標和廣義動量。但這是不行的。原因是前面講過的，因為電磁場必須是實數，所以不同的並不是完全獨立的：和滿足復共軛關係。於是不能直接選為廣義坐標。

一個很自然的想法是，我們只考慮一半的l（舉例來說，限定中的為非負整數）。分別把這些l對應的的實數部分和虛數部分選為廣義坐標。

原則上這麼做也不是不可以。這種處理就等價於我們一開始選擇三角級數（駐波）來進行展開。之後也能做諧振子量子化，並得到能級量子化的「光子」。

但是一般的書上都不會採用這種量子化方式。原因是因為，這樣量子化出來的光子，不具有確定的動量，不是很方便。

一般會定義，其中是一個為了後面方便引入的常數，c是光速。然後把哈密頓即總能量用表示出來。隨後用的實部和虛部作為廣義坐標和廣義動量，並進行量子化。而在量子化後就對應波模l的湮滅算符。

下一章對此進行一些簡單的公式推導。