黑體輻射這朵烏雲

這是一篇大家耳熟能詳的科學史，不過在重溫那老舊的細節過後，依舊能迸發深刻而優美的火焰，就像一瓶百年陳釀，醇暖之後的火辣，真真是別有一番滋味在心頭！

阿喀琉斯是《荷馬史詩》中的一位希臘英雄，在2004年沃爾夫岡·彼得森的那部《木馬屠城》中，布拉德皮特就飾演了這位以迅捷著稱的長腿歐巴。但這裡要先談的不是電影和帥哥，而是芝諾的一個悖論：阿喀琉斯追龜辯。

作為巴門尼德的得意門生，芝諾為了支持他老師關於「存在」不動、是一的哲學理念，提出了這樣一幅場景：

一隻烏龜某天對阿喀琉斯說：「哥們，聽說你速度hin快啊，但是我覺得你比不上我。」

阿喀琉斯哪能受得了這番嘲弄，說道：「擱這扒瞎哪！我的速度起碼有你的10倍，追上你就一瞬間的事。」

烏龜說：「好，那我們就來互相傷害吧。假設我領先你999米，」

阿喀琉斯：「領先這麼多要臉不？」

烏龜：「聽我說完有毒？假設我領先你999米，你跑步的速度為每秒10米，我的爬行速度為每秒0.1米，那麼你需要追上我的時間為：

·······

看到了嗎？無論你怎麼努力始終離我都有時間差，無論這個差距多小，你就是追不上我，來打我啊，來呀。」

阿喀琉斯又不懂微積分，迷迷糊糊中便覺得烏龜的理論竟然無法反駁，好有道理。

這個就是著名的「阿喀琉斯追龜辯」。

圖片來自打年獸？不如幫科學家打小怪獸

芝諾當然知道阿喀琉斯能夠追上烏龜，他的這個命題在這裡採用的方式是一種空間或者時間的無限可分，即：由於運動的物體在到達目的地前必須到達其半路上的點，若假設空間無限可分則有限距離包括無窮多點，於是運動的物體會在有限時間內經過無限多點。當然，在我們現在看來，這個追趕的時間是可以通過建立一個方程組的方式或者無限數列求和{99.9+0.999+0.00999+···}求算出阿喀琉斯追上烏龜的時間為100秒，不過我們的這種求解方式內置了一個前提：那就是假定阿喀琉斯最後可以追上烏龜，於是得到了那個時間。但是芝諾悖論的本質在於要求我們論證為何能追上，而上面提到的這無窮個步驟是難以完成的。

悖論本身的邏輯並沒有錯，但是這個悖論卻與實際情況南轅北轍，原因在於它對時間進行了無限次分割，就認為被分割的時間就是無限了。再說一遍，原因在於它對時間進行了無限次分割，就認為被分割的時間就是無限了。然而，我們知道在數學上，就算是進行無限次的求和，它也是可以被限制在有限值之內。換句話說，在阿喀琉斯追龜辯之中，無限的是切割時間的次數，不是時間本身，這隻烏龜只是闡述了有限的時間可以被無限地切割。

這個結論非常的重要，因為它跟今天這篇文章所隱含的物理意義緊密相關，我先按下不表，讀者們且聽我講述一個19世紀末的科學史。

19世紀末，黑體模型的熱輻射問題讓許多物理學家為之著迷，最常見的就如鐵匠煅烙金屬時那燒灼出不同顏色漸變的現象，這種從暗紅色到橙黃色的蜜汁色變告訴我們，物體的輻射能量與頻率和溫度之間存在著某種對應的關係。

當然我們現在知道，熱量其實是組成物體的粒子的隨機運動所產生的能量。

Everything glows with the light of its own internal heat.

加速運動的帶電粒子能夠產生電磁輻射（Electromagnetic radiation）——光，所以由這些不斷振動著的帶電粒子比如電子和質子，所組成的物質能夠發光（glows）。一個物體越熱，其組成粒子的振動越快。這些粒子的平均頻率隨著溫度的升高而增加。所以，這個平均頻率就決定了我們所看見的顏色。太陽看上去是黃色的，因為其表面接近6000K的溫度所致，其輻射出的大部分光子位於綠色-黃色的電磁波譜段（Electromagnetic spectrum）。我們所知道的參宿七（Rigel），因為其表面接近12000K的溫度，所輻射的光子大多位於藍色甚至紫外波段，因此它也被稱為超藍巨星。

圖片來自Rigel Sun Comparison

你的身體溫度大約是310K，所以你發出的光子屬於低頻段的紅外波段，所以你放屁的樣子大概是這樣的：

圖片來自Infrared Human

在17世紀的60年代，艾薩克·牛頓爵士首先對熱發光現象進行了分析，當時，他使用了一面稜鏡對太陽光進行了分光處理，進而得知複色光的各種組分。

圖片來自newtons prism experiment

但他並不知道這些單色光的相對亮度是通向量子世界的關鍵之匙。直到19世紀的後半葉，發熱物體的亮度分布與頻率的關係譜圖被實驗結果精確的繪製了出來，蘭利發明的熱輻射計是當時比較先進的一種測量工具，加上羅蘭的凹面光柵相襯可以得到比較精確地熱輻射能量分布曲線。黑體輻射中關於輻射本領與吸收率之間的關係是率先由基爾霍夫證明的，他推導出對於任意一個物體，這兩個函數之比是一個與物體組成無關的普適函數，其中，輻射本領指的是單位時間內從輻射體表面的單位面積上發射出的輻射能量的頻率分布，而因為黑體的吸收率為1，所以它的輻射本領為：。這就意味著黑體輻射本領等價於普適函數，與組成其的物質無關。

在這個基礎上，於1879年和1884年斯洛維尼亞物理學家斯特藩（Jo?ef Stefan）和奧地利物理學家玻爾茲曼（Ludwig Boltzmann）分別獨立的提出熱力學的一個著名定律：一個黑體表面單位面積在單位時間內輻射出的總能量（稱為物體的輻射度或能量通量密度）與黑體本身的熱力學溫度T（又稱絕對溫度）的四次方成正比：，這個定律被後世膾炙人口為斯特藩-玻爾茲曼定律（Stefan-Boltzmann law）。

在公式的推導過程中，斯特藩通過的是對實驗數據的歸納總結，玻爾茲曼則是從熱力學理論出發，通過假設用光（電磁波輻射）代替氣體作為熱機的工作介質，最終推導出與斯特藩的歸納結果相同的結論。

而這一切，都為1893年維恩推導出那著名的維恩（Wilhelm Wien）位移定律做好了理論上的準備。

稍微提一下，維恩1864年1月13日出生在東普魯士（現俄羅斯），父親卡爾·維恩（Carl Wien）是地主。在海德堡讀完中學後，他又去了哥廷根大學學習數學，同年又轉去了柏林大學，在亥姆霍茲的實驗室工作，並於1896年獲得了博士學位，論文題目是光對金屬的衍射，以及不同材料對摺射光顏色的影響。不過後來，維恩因為父親的原因，回到了故鄉子承父業，幫助管理父親的一大片土地，做起了真正的土·豪。要不是1890年國家物理工程研究所提供給他的一份工作機會，物理學界可能就此失去了一名實驗學的能工巧匠，維恩很有可能就沿著父親的軌跡成為下一代地主。維恩思考了一下決定接受這個offer回到了亥姆霍茲的身邊，他的才華迅速得到了升溫，1892年在柏林大學獲得大學任教資格。

在國家物理工程研究所期間，維恩與同事路德維希·霍爾伯恩（Ludwig Holborn）一起研究用勒沙特列（Le Chatelier）溫度計測量高溫的方法，並對熱動力學進行了相關的研究。也就在這段期間，他從經典熱力學的思維出發，借統計熱力學之手（麥克斯韋速率分布），並完全基於對實驗數據的經驗總結而得到了另一個閃亮的公式：

（1）

上式中，是能量分布的函數，是波長，T是絕對溫度，而a與b皆是常數。

這個公式是於1893年提出的，1896年他又發表了維恩公式，給出了這種確定黑體輻射的關係式，提供了描述和測量高溫的新方法。早在1894年，另一位物理學家帕邢在蘭利的基礎上對各種固體的熱輻射進行了測量，結果很好地符合了維恩的公式。但是在1899年，維恩在國家物理工程研究所的兩位同事發表了一份報告，報告中指出，當把黑體加熱到1000K左右時，觀測到的短波範圍內的輻射曲線與維恩公式達到了無縫對接，然而在長波範圍出現了嚴重的偏差。

隨後，這個偏差被更多的實驗觀測所證實，實際上，維恩公式的數學基礎賦予了它在短波範圍內與黑體輻射曲線精準的縫合，然而在長波段它卻給出了不恰當的預言：波長趨近無窮大時，能量密度與溫度的變化不再相關，而從實際測試中得到的推論應該是，能量密度與絕對溫度成正比。維恩公式就走到了這裡，但它的意義是非凡的，在從理論熱力學出發，通過實驗基礎對數據使用了特殊的處理——經典粒子或者說分子假設，儘管讓當時繁及一世的波動學說難以下咽，但是卻給後世乃至不久將要被揭開的黑體輻射帳幕留下了豐富的經驗碩果。時至今日，維恩位移定律有許多實際的應用，例如通過測定星體的譜線的分布來確定其熱力學溫度；也可以通過比較物體表面不同區域的顏色變化情況，來確定物體表面的溫度分布，這種以圖形表示出熱力學溫度分布又稱為熱象圖。也因為此，維恩被授予了1911年諾貝爾物理獎的殊榮，當然維恩的腳步並沒有停滯在位移定律上，這位天才實驗學家在此後的諸多領域上頗有建樹：

1896年前往亞琛接替菲利普·萊納德後，他在那裡建立實驗室研究真空中的靜電放電，1897開始研究陰極射線，藉助帶萊納德窗的高真空管，他確認了讓·巴蒂斯特·皮蘭兩年前的發現，即陰極射線由高速運動的帶負電的粒子（電子）組成。幾乎與約瑟夫·湯姆生在劍橋發現電子的同時，維恩用與湯姆生不同的方法測量到了這些粒子帶電量和質量的關係，並且得出了與湯姆生相同的結果，即它們的質量只有氫原子的一千分之一。1898年維恩又研究了歐根·戈爾德施泰因發現的陽極射線，指出它們的帶正電量與陰極射線的帶負電量相等，他測量了它們在磁場和電場影響下的偏移，並得出陽極射線由帶正電的粒子組成，並且它們不比電子重的結論。維恩所使用的方法在約20年後形成了質譜學，實現了對多種原子及其同位素質量的精確測量，以及對原子核反應所釋放能量的計算。1900年維恩發表了一篇關於力學的電磁學基礎的理論論文，此後又繼續研究陽極射線，並在1912年發現，在並非高真空的環境下，氣壓不是非常弱時，陽極射線通過與殘餘氣體的原子碰撞，會在運動過程中損失並重得它們的帶電量。1918年他再次發表對陽極射線的研究結果，他測量了射線在離開陰極後，發光度的累積減少過程，通過這些實驗，他推斷出在經典物理學中所稱的原子發光度的衰退，對應於量子物理學中的原子處於活躍狀態的時間有限。

引自http://baike.baidu.com/item/維恩/23384

維恩在黑體輻射十字路口前撒下的麵包屑被大英帝國的探路先鋒瑞利（Rayleigh）勛爵看到，在寫著「分子假設」新路標旁的通幽小徑上，瑞利絲毫沒有猶豫地轉過頭去，朝著「能量均分定理」的康庄大道走了過去，5年後另一位物理學家——詹姆斯·金斯（Jame·Jeans）也尾隨而至。

先來粗略介紹一下「能量均分」。

能量均分定理：在經典統計力學中，能量均分定理是一種聯繫系統溫度及其平均能量的基本公式。能量均分定理又被稱作能量均分定律、能量均分原理、能量均分，或僅稱均分。能量均分的初始概念是熱平衡時能量被等量分到各種形式的運動中；例如，一個分子在平移運動時的平均動能應該等於其做旋轉運動時的平均動能。

引自Equipartition theorem

它強調的是一個物體的熱能可以被分布在其所有組成粒子的所有可能運動的方式中，簡言之，在平衡狀態下，能量可以在各種能級間被均勻地傳遞。

瑞利和金斯（兩人並不是同時思考，為下面書寫簡便將二者放到一起）考慮一個體積為V的空腔，腔壁溫度為T，腔內真空，由於腔壁在任何溫度下都輻射電磁波，因此腔內就建立了一電磁場，並且腔壁同電磁場將達到平衡。電磁輻射場是具有不同頻率和不同傳播方向的駐波系統。其中每一種駐波是輻射場中的一種波型，或稱模式。都代表輻射場中的一個穩定的狀態.因此可以稱為本徵振動的方式或本徵模，可以算出，腔內在[, +d]的頻率範圍內，本徵模數為：

二人根據剛剛提到的能量均分定理，認為每一本徵振動的動能和勢能各佔KT/2。因此在[, +d]的頻率範圍的能量為：

或者說在[, +d]的波長範圍內為 （2）

上式中，物理符號與維恩公式里的含義一樣，那個k是玻爾茲曼常數。

這個公式就是著名的瑞利—金斯公式，它在理論上匹配了和T在高溫範圍內長波段（低頻區）的實驗結果。

但在短波範圍（高頻區），公式所預言的能量密度則迅速地扶搖直上，同實驗結果矛盾，更為恐怖的是，任何學過微積分的人如果將上面那個公式對頻率從0到積分，會得到包括所有頻率的能量密度為無窮大的結論。

百度百科如此評論：「···就是說空腔內的平衡輻射場只有當能量密度無窮大時才開始建立，這顯然是荒謬的。」

按照公式所傳達的信息，隨著頻率的不斷增大，輻射強度會直達無限大（infinity），而這樣的宇宙將會是非常恐怖的：遍布著無限高能的伽馬輻射。因為其帶入的信息對生命充滿了敵意，後來，奧地利物理學家埃倫菲斯特（Paul Ehrenfest）給這個推論加上了一個毛骨悚然的深空恐懼型代號：紫外災難（Ultraviolet catastrophe）。

這個災難也直接的說明了經典物理在瑞利—金斯定律中存在的本質錯誤。後來的發現才證實，在經典物理之中，萬物都可以被無限地分割，永遠沒有最小的界限。瑞利-金斯公式允許粒子可以以任何數量的能量振動，這個數量可以一路下降到無窮小。所以當瑞利和金斯試圖把熱能均勻分布地到所有可能的能級中時，他們發現，在數學意義上，巨量的能量被塞到高頻區里數不盡的、分割到無限小的能級里，因此永遠沒有盡頭，從而出現了紫外災變。

瑞利和金斯在黑體輻射的十字路口處，沿著「能量均分」的陽光大道，最終在紫外災變處戛然而止。值得一提的是，瑞利勛爵是一位十分嚴謹的科學家，在1882年，他在氣體密度精確測量的課題上殫精竭慮，但仍然卡在了氮的問題上。他在研究中發現從液態空氣中分餾出來的氮氣，跟從亞硝酸銨分解得到的氮氣，密度存在超過實驗誤差範圍的差異，這個差異值為千分之二。但瑞利無法容忍這種精度上的誤差，他遍覽資料，絞盡腦汁，排查了幾乎所有的儀器誤差，重複了幾十次的實驗，要命的是這個差別值隨著每一次測試的深入而變得更加精確，在沉默中選擇爆發的他，遇到了威廉·拉姆齊，兩人決定合作查明這一問題的原因。1894年8月13日，瑞利與拉姆齊宣布他們發現一種新的氣體元素氬。之後，在瑞利的協助下，拉姆齊又相繼發現了幾種新的惰性氣體元素。

而一向十分嚴謹的瑞利勛爵，在黑體的十字路口上卻忽視了1900年那條被一位天才打通的「河西走廊」（真正的瑞利—金斯公式在1905年才成型，在建立數學模型的過程中，二人的專業性與嚴謹度是不可能自動過濾掉普朗克公式的，從整個光景看來，普朗克當時抱定徹底解決黑體輻射難題的動機中，最沒有可能的就是消除紫外災變）。

這位天才就是馬克斯·卡爾·恩斯特·路德維希·普朗克（Max Planck）。普朗克出生於1858年德國基爾，家庭優渥，曾祖父和祖父都是哥廷根的神學教授，父親威廉·普朗克則是一名出色的法學教授，叔叔是哥廷根的法學家，參與過德國民法典的起草工作。

普朗克在中學時期就受到自然科學方面的熏陶，尤其是受到了名盛一時的數學家奧斯卡·馮·米勒的指點，對物理學產生了濃厚的興趣。進入大學後的普朗克，博聞強識，在很多方面都天賦異稟。據說，他曾在慕尼黑學生學者歌唱協會為多首歌曲和一部輕歌劇作曲，會鋼琴、管風琴和大提琴的他當時有著令人精絕的側顏：

圖片來自Max Planck

不過他之後還是選擇了物理學作為「終身大事」，普魯士也從此失去了一位音樂才俊，不過也由此收穫了一位不世出的物理宗師。然而，令人尷尬的是，普朗克的大學時期屬於經典物理霸橫的鼎盛時期，按照《量子物理史話》的說法，19世紀末的世界，小到飛沙走石，大到天體星斗，都畢恭畢敬地效法麥克斯韋等人奠定的三大力學基礎：經典力學、經典電動力學和經典熱力學，以至於開爾文勛爵曾經感概：「物理學的未來，將只有在小數點第六位後面去找。」普朗克的導師菲利普·馮·約利（Philipp von Jolly）曾勸他：「這門科學中的一切都已經被研究了，只有一些不重要的空白需要被填補。」（德語原文：In dieser Wissenschaft schon fast alles erforscht sei, und es gelte, nur noch einige unbedeutende Lücken zu schlie?en.）面對導師清晰的教誨，鋒芒內斂的德意志青年這樣回應：「我並不期望發現新大陸，只希望理解已經存在的物理學基礎，或許能將其加深。」（德語原文：Ich hege nicht den Wunsch, Neuland zu entdecken, sondern lediglich, die bereits bestehenden Fundamente der physikalischen Wissenschaft zu verstehen, vielleicht auch noch zu vertiefen.）

在拿到慕尼黑大學的博士學位後，在1880~1885年輾轉於基爾大學以及慕尼黑大學之間，1889年4月，亥姆霍茲通知普朗克前往柏林，接手基爾霍夫的工作，1892年接手柏林大學的教職。儘管後來普朗克分別對於亥姆霍茲以及基爾霍夫有著這樣的評價：「他（亥姆霍茲）上課前從來不好好準備，講課時斷時續，經常出現計算錯誤，讓學生覺得上課很無聊」、「他（基爾霍夫）講課仔細，但是單調乏味」，不過在兩位骨灰級熱力學奠基人的影響下，熱學理論也就變成了普朗克的工作領域。

從1894年開始，普朗克開始致力於黑體輻射的研究，6年來他委身於這個問題：維恩的位移定律在高頻區可以正確地符合實驗結果，但是卻對低頻區束手無策；與在低頻區成正比的關係已經被揭開謎底，只不過粗略的瑞利公式被自己在高頻區的錯誤形態給絆的夠嗆。

時間一晃就來到了1900年的秋天，10月里泛黃的樹葉在秋風中婆娑起舞，夜幕早早地扣在柏林的大街小巷，普朗克的那間辦公室也不例外，但沒人能知道，隔天的曙光將會照亮整個物理世界。普朗克盯著滿屋的稿紙陷入沉思，就在大約半年前的倫敦，開爾文男爵在阿爾伯馬爾街皇家研究院舉行報告會發表了《在熱和光動力理論上空的19世紀烏雲》，這位目光炯炯、白須灰發的老人在開篇就說道：「動力學理論斷言熱和光都是運動的方式，這一理論的優美性和明晰性卻被兩朵烏雲所遮蔽，顯得黯然失色···（The beauty and clearness of the dynamical theory,which asserts heat and light to be modes of motion,is at present obscured by two clouds）」，普朗克清晰的知道這第二朵烏雲指的是黑體輻射研究的瓶頸。在經過6年的風雨後，他決定先不管預設的情況幾何，先試出符合整個頻段的普適公式，萬一成功了呢?當機立斷後，普朗克利用其出色的數學功底，開始構想可能的某種數學技巧（math trick）來計量所謂的無窮多能級，在他後來自述的某個絕望的瞬間中，他嘗試了一種頗為愚蠢的辦法。在這個叫做內插法的嘗試中，他令粒子振動的不同能量等於某個最小能量的倍數，換句話說，讓不同能級的能量量子化：

他把這個最小的能量公式化為一個粒子振動的頻率與一個非常非常非常非常非常小的當時還無法測得數值的某個常數的乘積。這個常數後來成為了普朗克常數（Planck constant）。但當時的普朗克顯然還沒有意識到這一點，不過這個像電腦藍屏後你內心拔涼般隨意敲打鍵盤以求解鎖的舉動，完成對黑體輻射難題的絕殺。經過了普朗克版的「Eureka」時刻後，這位天才望著手中的這個公式：

（3）

上面這個式子中變數含義與維恩和瑞利金斯一樣，是普朗克常數。這個公式也就是後輩們高山仰止的普朗克黑體輻射定律（Plancks law）的精華部分，儘管當時的人們都普遍反感。

遠離了喧囂的普朗克，驚人地發現，這個公式妙計十足地拿捏到了維恩和瑞利金斯這兩套公式的優勢。

當波長趨近於0時，-1幾乎可以忽略，各位可以把看成常數，把看成常數。於是公式（3）退化成為 （4），大家可以自行對比一下公式（4）與前述的維恩公式，也就是式（1），二者的數學形式是完全一樣的；

當波長趨近於時，利用泰勒展開公式，將做一級展開（）就好，後面的高指數項完全可以忽略，於是公式（3）退化成為 （5），可以看到式（5）與瑞利—金斯公式，也就是式（2）的變形是一樣的數學形式；

受不了的同學可以看下圖的總結，你們就知道這個公式有多牛逼：

普朗克把玩著手中的這個公式，他暫時還不知道普朗克常數這個小精靈所帶來的破壞力，但是他知道的是，這個數學表達式可以很準確地描述黑體輻射這個波段的測量結果，於是他在1900年10月19日這一天上，在德國物理學會上首次打開了這個潘多拉寶盒。

不久後的1900年12月14日，普朗克得出了輻射定律的理論推論，會議上提出了能量量子化的假說：

他向眾人介紹了這個全新的概念：，在這個公式中被引入的普朗克常數是一個

作用量子，最基本的自然界常數之一，體現了微觀世界的基本特徵。它的存在意味著能量只能以不可分的能量元素（即量子）的形式向外輻射。這種物體輻射或吸收能量只能一份一份地按不連續的方式進行的新觀點徹底地顛覆了經典物理中的能量可以連續變化的固有定式，不僅成功地解決了熱輻射中的難題，而且開創物理學研究新局面，標誌著人類對自然規律的認識已經從從宏觀領域進入微觀領域，為量子力學的誕生奠定了基礎。因為他的方法實際上限制了高頻段振動所能輻射的能量數，普朗克方程從數學上完美的詮釋了黑體輻射光譜，覆蓋了所有頻段的光譜，最後成為了普朗克定律（Plancks law）。奇妙的是，普朗克在一開始並沒有覺得這些量子態的能級是真實的，這隻應該是一次數學變換的技巧或者形式，他期望這個新的常數最後等於零，意味著能級之間不是離散的，不存在量子化，也沒有最小能級，在這種情況下，普朗克常數會在最後的等式中抵消掉，然而，這都沒有發生，相反地，普朗克常數堅挺地植根於黑體輻射定律的方程之中。能量量子化是存在的。這一天，也就是公元1900年12月14日，被人們看作為量子論誕生日。

由普朗克帶來的量子風暴，此後將在整片歐洲大陸上排山倒海，由之引發的量子革命迅速燎原，越來越多的人認識到空間不一定能夠無限分割下去，那麼回到本文開頭的那個阿喀琉斯追龜辯論之中，芝諾預設的連續無限分割的前提並不是普遍的，因此，這個悖論就被避免了。量子理論為我們展示的是一張空間不連續的藍圖，無限分割也只是人們在數學上的理想設定。

愛因斯坦在1948年4月悼念普朗克的會上，充分肯定了普朗克常數發現的重大意義：

「這一發現成為20世紀整個物理學研究的基礎，從那時候起，幾乎完全決定了物理學的發展. 要是沒有這一發現，那就不可能建立原子、分子以及支配它們變化的能量過程的有用理論。 而且，它還粉碎了古典力學和電動力學的整個框架，並給科學提出了一項新的任務：為全部物理學找出一個新的概念基礎。」

愛因斯坦最後真切地明白了，實際上光也是量子化的。之前提到的那些不斷振動的小粒子確實具有量化的能量，但那是因為它們只能通過每次吸收或者釋放一個光子來增加或者減少能量。而光總是以不可分割的能量小包來回傳送。普朗克的發現確實是愛因斯坦假設光子以部分波、部分粒子形式存在的基石，也是愛因斯坦通過光電效應（Photoelectric effect）證實這一假設的重要線索。

普朗克也因為他的量子論獲得1918年諾貝爾物理學獎，此時的他正值60歲。

圖片來自Max Planck

還記得前面那張俊秀的側顏嗎？老年普朗克的側像褪去了英氣的光華，卻始終輻射出堅毅，你無法想像這位老人在諾貝爾獎之前到底經歷了什麼。

1909年10月17日與普朗克相伴23年的妻子因為肺結核去世了。

1914年，他的二兒子埃爾溫在被法軍俘虜；同年，在被政府忽悠（還是逼迫）下，普朗克莫名其妙地在德國為尋找戰爭借口的《告世界文明書》中籤名，這份文件又名「93名知識分子的宣言」，因此被戲稱為「知識分子真正的無恥宣言」。

1916年，普朗克的大兒子卡爾死於一戰臭名昭著的凡爾登戰役，這次戰役傷亡人數僅次於索姆河戰役，被稱為「凡爾登絞肉機」。

1917年他的女兒格雷特在產下第一個孩子時去世，她的丈夫娶了普朗克的另一個女兒埃瑪，不幸的是埃瑪在兩年後同樣死於生產。

普朗克在諾獎前平靜地經受了這些打擊。

1920年10月，他和弗里茨·哈勃創建了「德國科學臨時學會」，其目的是為陷入困境的科學研究提供資金支持。

1933年納粹上台時，他目睹了許多猶太人朋友和同事們被驅逐出他們的工作崗位，並被羞辱，數以百計的科學家被迫離開了德國。猶太人化學家弗里茨·哈勃受到了不公正待遇，普朗克則直接去找希特勒提出抗議，但是一無所獲，哈勃最終於1934年死於流亡生活中，一年後普朗克以威廉皇家學會主席的身份，為哈勃舉行了一次紀念活動。普朗克還竭盡全力，使得一些猶太人科學家能夠在一段時間內在威廉皇家學會的研究所內繼續工作。

1936年，「德意志物理學」的代表人和帝國物理技術學院主席約翰尼斯·斯塔克在黨衛軍刊物上批評普朗克是「白種的猶太人」，有著十六分之一的猶太人血統。

1938年底，納粹將學會的整個社會和政治生活統一化，即將公開和私人的生活統一化，普朗克辭職以表示抗議。

1943年底普朗克在卡塞爾演講期間借宿親戚家，10月22日晚親歷了一次破壞性的空襲，普朗克親眼見到親戚被炸身亡。1944年2月，普朗克在柏林的家也在空襲中完全損毀，他所有的手稿和藏書被付之一炬，連帶著還有堅持十幾年的日記。

普朗克的二兒子埃爾溫·普朗克（一戰被俘的那位）因參與1944年暗殺希特勒的7月20日密謀案，1944年7月23日被逮捕並被關入蓋世太保的總部，1944年10月23日人民法院判處他死刑，1945年1月23日被殺害。至此，普朗克與其第一任妻子所生的4個孩子全都去世。

在二戰的最後幾周內，普朗克和他的妻子陷入了盟軍在易北河的進攻前線，二戰結束後普朗克被送回了哥廷根。

二戰結束後，雖然受到越來越多的健康問題的困擾，普朗克仍舊前往各地進行巡迴演講。1946年7月，普朗克作為唯一一位被邀請的德國人，參加了皇家學會紀念牛頓誕辰300周年的慶典。

1947年10月4日，普朗克因跌倒和多次中風的後遺症而去世，終年89歲。

普朗克的人格如何，躍然紙上。

可能有很多讀者會質疑說普朗克的發現難道不就是毫無實驗基礎的瞎猜嗎？不就是內插拼湊嗎？不就是運氣使然嗎？其實，雖然這個方程的發現是經驗主義的，但是關於普朗克之前熱學理論的研究史料表明，普朗克對於這個公式是持有開放的態度。6年的沉浮，他自己對這個難題已經有了心裡準備：經典的波動理論是無法解釋黑體輻射現象的。在注入了熱力學的假設後，輻射能量的不可連續化就已經在轉角之處，這個推論也許早就在他的腦袋裡萌芽，只不過他沒能深挖，亦或是他不願意側目。《量子物理史話》中說，也正因為此，他才能在導出公式後的短時間內，以最敏銳的直覺指出蘊含其中的最無價的假設。

參考資料：

https://www.mpiwg-berlin.mpg.de/Preprints/P150.PDF

KUHN AND THE QUANTUM CONTROVERSY

http://www.math.lsa.umich.edu/~krasny/math156_article_planck.pdf

https://www.youtube.com/watch?v=tQSbms5MDvY

Photoelectric effect

Plancks law

Planck constant

Max Planck

Ultraviolet catastrophe

瑞利-金斯公式_百度百科

Equipartition theorem

Electromagnetic radiation

http://baike.baidu.com/item/維恩/23384

《量子物理史話》

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