假設一條隧道通過地心連接地球兩端，其中的引力是如何分布的?

02-11

其實題主問了力學裡面十分經典的一個問題, 我想題主可能只是想要大家直觀的把結果展示給TA看把. 好吧既然大家都沒有寫具體推導的, 那我就寫一個具體一點的推導.

首先題主要知道萬有引力的作用規律: 對於位於 $vec{r}$ 的質點 $m$ 和位於 $vec{r}_0$ 的質點 $m_0$ , 質點 $m$ 感受到來自質點 $m_0$ 的萬有引力為 $vec{F}=-Gdfrac{m m_0}{R^2}hat{R}$ , 其中 $vec{R}=vec{r}-vec{r}_0$ , $hat{R}$ 是 $vec{R}$ 方向的單位向量.

有了萬有引力的作用規律之後, 就可以解釋題主的問題了. 為了分析這個問題, 我們不妨先假設地球的邊界是球形的(這個假設應該是在相當好的程度上成立的, 地球的赤道半徑a=6378137米；地球的極半徑b=6356752米, 相差不過0.3%). 同時我們還假設地球的密度分布是空間的函數 $ho(vec{r})$ , 並且題主的隧道足夠的細, 以至於對地球的質量分布基本不能造成任何的影響. 那麼在這樣的情況下, 我們可以認為地球的每一個部分, 都對隧道中的題主有一個萬有引力的作用. 那麼利用簡單的微積分, 我們就可以計算這個萬有引力的大小.

為此, 我們認為地心放置在坐標原點 $(0,0,0)$ , 半徑為 $a$ . 題主的位置為 $vec{r}=(0,0,z)$ , 地球上的一點表示為 $vec{r}_0=(x_0,y_0,z_0)$ , 接下來我們需要計算積分 $vec{F}=iiint_{r_0leq a}-Gdfrac{m ho(vec{r}_0) mathrm{d} au_0}{R^2}hat{R}$ .

可惜的是, 由於 $ho(vec{r})$ 的形式上的不確定性, 這個積分實在是過於複雜了. 如果我們再作出一個讓步, 認為地球的密度並不一般地依賴於空間位置, 而是只和到地心的距離有關, 也就是 $ho(vec{r})= ho(r)$ , 那麼我們還可以繼續把手中的式子向下推導.

首先我們發現的是體系關於 $z$ 軸的旋轉對稱性, 這意味著我們對於 $vec{F}$ 的積分的最終結果之中並不會出現x, y分量. 那麼我們放心地用坐標基矢 $hat{z}$ 去點乘積分的左右側, 得到 $F_z=Gmiiint_{r_0leq a}dfrac{ ho(r _0)(z_0-z) mathrm{d} au_0}{[x_0^2+y_0^2+(z_0-z)^2]^{3/2}}$ , 考慮到積分區域是球面, 我們對上式進行球坐標換元,可以得到 $F_z=Gmint_0^{2pi}mathrm{d}phi_0 int_0^{pi}mathrm{d} heta_0 int_0^a mathrm{d}r_0 dfrac{r_0^2sin heta_0 ho(r _0)(r_0cos heta_0-z) }{[r_0^2+z^2-2zr_0 cos heta_0]^{3/2}}$ . 顯然積分和 $phi_0$ 無關, 所以在這裡 $int_0^{2pi}mathrm{d}phi_0=2pi$ , 但是 $heta_0$ 和 $r_0$ 的積分是糾纏在一起的. 我們觀察到對於 $heta_0$ 的積分是容易計算的, 通過改換積分次序為 $heta_0 ightarrow r_0 ightarrow phi_0$ 把它提取出來: $int_0^{pi}mathrm{d} heta_0 dfrac{sin heta_0(r_0cos heta_0-z) }{[r_0^2+z^2-2zr_0 cos heta_0]^{3/2}}$ ,作變數代換 $t=cos heta_0$ , 可以把它化簡為 $int_{-1}^{+1} dfrac{(r_0t-z) }{[r_0^2+z^2-2zr_0 t]^{3/2}}mathrm{d}t$ , 只需要注意到 $dfrac{(r_0t-z) }{[r_0^2+z^2-2zr_0 t]^{3/2}}=-dfrac{1}{2z}dfrac{1}{[r_0^2+z^2-2zr_0 t]^{1/2}}+dfrac{r_0^2-z^2}{2z}dfrac{1}{[r_0^2+z^2-2zr_0 t]^{3/2}}$ , 那麼對於上式的積分就並沒有什麼實質性困難, 最後我們得到的結果是:

$int_{-1}^{+1} dfrac{(r_0t-z)mathrm{d}t}{[r_0^2+z^2-2zr_0 t]^{3/2}}= egin{cases} 0z<r_0\ -dfrac{2}{z^2} r_0<z end{cases}$

令人驚奇的是, 對於相比於題主所在位置更遠離地心的"那部分地球", 竟然總體來看對題主是沒有任何作用力的. 實際上對題主有作用的部分, 只有比題主更接近地心的"那部分地球". 此時的題主油然而生一種神奇感. 事實上, 如果直接從萬有引力的作用性質上來看, 是十分的顯然的. 為了說明這一點, 我們把對於相比於題主所在位置更遠離地心的"那部分地球"分成很多無限薄的球殼(正如這個積分中我們固定 $r_0$ ). 對於每個這樣的球殼, 題主在空間中的任何相反的兩個方向都以同樣是視角看出去(當然, 很小的視角), 會看到這個球殼距離題主為 $d_1$ 和 $d_2$ 的兩個截面積 $S_1$ 和 $S_2$ , 簡單的相似三角形只是可以證明 $S_1:S_2=d_1^2:d_2^2$ , 這也意味著這兩個小截面的質量之比也是這個值(顯然, 按照我們的假設, 地球的每層球殼上的密度是一致的). 這是平方正比的. 再加上引力的作用是平方反比的, 所以 $S_1$ 和 $S_2$ 對題主的力抵消掉了! 題主朝任何相反的方向看出去, 都有這樣的結論, 那麼當題主的目光覆蓋整個球殼的時候, 自然就證明了上述看似神奇的積分結果.

接下來, 我們可以寫出力的表達式, 縱使還包含著積分, 但是已經是相對簡潔的了: $F_z=-4pi Gm int_0^z dfrac{r_0^2 ho(r _0)}{z^2}mathrm{d}r_0$ , 注意積分上界已經從 $a$ 改換成 $z$ 了.

到現在為止, 數學的部分就結束了. 事實上, 知道了地球的密度的徑向分布之後就可以帶入計算, 解出每一點的引力分布了. 如果我們假設地球的的密度是均勻分布的, 即 $ho(r)= ho$ , 那麼這個積分就可以被做出: $F_z=-dfrac{4}{3}pi Gm ho z=-alpha mz$ , 把地球的相關參數代入( $hoapprox5.5mathrm{g}/mathrm{cm}^3$ ), 可以計算出 $alphaapprox1.54 imes 10^{-6} mathrm{N}/(mathrm{kg}cdotmathrm{m})$ .

並且我們還注意到, 這時候地球的引力構成一個線性回復力. 這將導致簡諧振動, 通過簡單的計算, 我們可以得到簡諧運動的周期為 $T=2pisqrt{dfrac{m}{k}}=dfrac{2pi}{sqrt{alpha}}approx5.06 imes10^3mathrm{s}$ , 這大概是1h 24min的時間長度. 也就是說, 在隧道的任何一個位置, 你沒有初速度的釋放一個物體, 它會在隧道里震動一次, 並且在大概1h 24min之後回到你的手裡. 同時, 令人感到驚奇的是, 這個時間長度和你在隧道的什麼位置釋放他並沒有關係, 在靠近地面的位置和靠近地心(顯然你和物體都會被燒壞!)的位置都一樣, 1h 24min !

但是實際上的情況比這複雜得多. 這也是其他的答主並沒有考慮到的. 地球的密度分布一般可以認為是徑向的沒錯, 但是並不能認為是均勻的. 事實上, 在 On the density distribution within the Earth, B. L. N. Kennett, Geophys. J. Int. (1998) 132, 374–382 這篇文獻里, 比較詳細的給出了推測的地球內部密度的分布. 可以看到地球的密度波動有約2%, 這確實是應該被考慮在內的. 你當然可以依照文獻的數據差值出地球的密度分布函數 $ho(r)$ , 再帶如最原始的積分式進行計算. 但是這顯然偏離了問題的初衷. 並且, 即便是忽略掉這2%的偏差, 我們的結果也基本上是可信的.

引力是線性的減少，到地心為 0。所以你跳下去的話會做簡諧振動。

這不是經典高中奧賽題嗎…首先可以證明球殼內部沒有引力，所以只受裡面那個球的引力。然後按引力定律和球體積公式，引力與到地心距離成正比。然後看出是個簡諧運動

從地球表面掉下去，越來越快，越來越快。

雖然隨著與地心的距離越來越短，引力會變小。

但是由於非常長時間的加速和慣性的原因你仍會非常快的向地心掉落。

當你到達地心的那一瞬間，地球對你不產生引力了。

然而並沒有什麼意義。

因為強大的慣性會把你送過地心，推向地球的另一面。

這時你就不是往下掉了，而是往上升了呦～

飛起來了呦（?ò ? ó?）

這時地球對你的引力，和你運動方向就相反了。所以你會慢慢的減速。

而且越減越多，直到你的速度為0，也就是靜止的那一刻。你就會繼續被地球吸引，也就是掉下去???

要是設計的好的話，你到地表的時候，正好靜止～你就可以來回穿梭地球了～～

（?ò ? ó?）

如果沒設計好。。你就會在地球的地幔中，來回的蕩來蕩去，蕩來蕩去。。直到。。。

你停在了地心的那一刻⊙﹏⊙

是不是好恐怖π_π

這個問題有在BBC紀錄片《你最想知道的科學Tings You Need to Know》第四集有提到。

第四集主要是關於速度，由「環遊地球最快的方式是什麼」的問題從而假設跳入一個穿過地心的隧道應是最快的方式。裡面有對假如人跳入這個隧道中不同階段的受力分析，建議去看一看，希望能解決你的問題。

順便附上網址：

http://www.bilibili.com/mobile/video/av2510951.html

地球質量分布均勻的話，從一端再到另一端，引力先變小再變大，在地心沒有引力

假設：地球為完美球形，質量均勻分佈（密度為常數），隧道大小相對地球來講忽略不計。

問題等價為：求地球上頂點到下頂點的直線上，地球所有質點所產生的合成引力場。

所需知識及數據：萬有引力公式，你的質量，地球平均密度。

然後。。。積分即可～～～大一的高數知識+高中物理知識即可完成。這裡不詳細寫了。