圓上任選三點組成三角形，這個三角形是銳角、鈍角和直角三角形的概率分別是多少？

02-11

網上找了一下，直角三角形概率為0基本沒爭議。銳角三角形的概率為1/4、1/3、1/2都有，不知道哪個對。

問題可以等價於：

任取三角形，圓心落在三角形內、外、邊上的概率各是多少

這三種情況分別對應銳角、鈍角、直角。

然後這就變成了三藍一棕的一道題

在這樣的情況下，可以變成：

任取P1、P2點的情況下，P3有多大的概率使得三角形包含圓心。

它給出了一個只需要用幾何直覺的、數學表述上不嚴格的證明：

只有當P3落在淺藍色、P1P2弧長與圓心的對稱位置，才能使得圓心落入三角形。

因為對稱弧長其實就是P1P2的弧長

所以問題最後變為：任取P1P2，其弧長期望值是多少？顯然弧長不能長於半個周長，不能小於0

那麼答案顯然就是四分之一的圓周長，概率就是圓上任取一個點，落進這個區域的概率，四分之一

這個視頻在：【官方雙語】如何優雅地解答最難數學競賽的壓軸題？_嗶哩嗶哩 (゜-゜)つロ乾杯~-bilibili

取極坐標下單位圓。

取A點。不失一般性，設A點所處角度為0。

取B點，

B點角度 t 在(-pi, pi]的範圍內均勻分布。

即B點處於(T, T+dt)中的概率為dt / 2pi

取C點，討論B點角度 t

t＞0，則C在(-pi, t-pi)的範圍內時，ABC為銳角。

t＜0，則C在(pi+t, pi)的範圍內時，ABC為鋭角。

以上兩個事件概率都為 |t| / 2pi

最後要求的是：|t| dt / (2 pi)^2 對 t 從 -pi 至 pi 積分

答案是 1/4

我來糊一個最原始的答法，幾何原本只要看到第一卷命題32就可以作答

關於鈍、直、銳角三角形的性質略

我來答一波！！不用微積分！！

拋出結論，銳角三角形的概率是 $frac{1}{4}$ ，鈍角三角形的概率是 $frac{3}{4}$ ，直角三角形的概率是 $0$ 。

首先考慮最簡單的直角三角形，要在圓上構成直角三角形，必須保證這個三角形的一條邊是圓的直徑：

而要在圓上任取兩點構成直徑，這個在概率空間上的測度是 $0$ 。

我們用 $P_{acute}$ 表示銳角三角形的概率，用 $P_{obtuse}$ 表示鈍角三角形的概率。

我們設在圓上任選三個點能構成的所有銳角三角形的集合為 $S$ ，鈍角三角形的集合是 $T$ 。如果他們都是有限的集合，那麼有 $P_{acute}=frac{|S|}{|S|+|T|}$ ， $P_{obtuse}=frac{|T|}{|S|+|T|}$ 。

很不幸的是，顯然 $S,T$ 都是無限大的集合。那麼我們要怎麼才能比較無限大的集合的大小呢？答案是構建映射。

對於一個銳角三角形 $Delta ABC$ 來說，取點 $A$ 過圓心 $O$ 做射線交圓於點 $A$ ，那麼由於 $angle ABA=angle ACA=frac{pi}{2}$ ，所以 $angle A > frac{pi}{2}$ ，即 $Delta ABC$ 是一個鈍角三角形：

同樣地，我們能得到鈍角三角形 $Delta ABC,Delta ABC$ 。

於是我們能說任意一個銳角三角形對應三個鈍角三角形。

那反過來呢？反過來顯然是個可逆變換。

對於一個鈍角三角形 $Delta ABC$ 來說，不失一般性，設 $angle A>frac{pi}{2}$ ，從 $A$ 過 $O$ 做射線，交圓與 $A$ ，類似得，容易證明 $angle A<frac{pi}{2}$ 。

於是我們又能說，任意一個鈍角三角形對應一個銳角三角形。

所以得出 $P_{acute}=frac{1}{1+3}=frac{1}{4}$ ， $P_{obtuse}=frac{3}{4}$ 。

留個作業，在球面上任取四個點，構成的四面體包含球心的概率是多少？滑稽。

首先，銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形中，只有銳角三角形的外接圓圓心在其內部。

問題等價於是銳角三角形的概率是多少。

任取不過圓心的弦AB，作為三角形的一條邊。

作過A的直徑交圓於A。

作過B的直徑交圓於B。

則劣弧AB=劣弧AB，設其對應圓心角為θ。

則

C落在A和B點，△ABC是直角三角形，弧長度為0；

C落在劣弧AB間，△ABC是銳角三角形，弧長度為θ；

其他為鈍角三角形，弧長度為是2π-θ/。

f(θ)=θ，該函數對θ∈(0，π)積分，得銳角總長度π2/2。

g(θ)=2π-θ，該函數對θ∈(0，π)積分，得鈍角總長度3π2/2。

則銳角:鈍角=1:3，所以銳角為1/4。

也可以試試暴力模 (擬)？

在單位圓上取隨機三個點，根據圓心角計算三條弦長，然後判斷是銳角、鈍角還是直角三角形，重複這個過程N次，可以根據頻率估計出銳角、鈍角、直角的概率

N取大一些。

#!/usr/bin/env python # -*- coding=utf-8 -*- # @Author: zhusinan


import numpy as np           
def simulation(N):

    obtuse, acute, right = 0, 0, 0

    for _ in range(N):

        theta = np.random.rand(3)*2*np.pi

        theta.sort()

        theta_1, theta_2, theta_3 = theta

        side = [chord(theta_2-theta_1), chord(theta_3-theta_2), chord(2*np.pi+theta_1-theta_3)]

        side.sort()

        side_1, side_2, side_3 = side

        judgeFlag = judge(side_1, side_2, side_3)

        if judgeFlag == -1:

            acute += 1

        if judgeFlag == 1:

            obtuse += 1

        if judgeFlag == 0:

            right += 1

    return np.array([acute, obtuse, right])/(N*1.0)
def chord(theta):

    if theta &> np.pi:

        theta = 2*np.pi - theta

    return 2*np.sin(theta/2)

def judge(s1,s2,s3): if s1**2 + s2**2 &> s3**2: return -1 elif s1**2 + s2**2 &< s3**2: return 1 else: return 0 acute, obtuse, right = simulation(1000000) print(acute: {0} obtuse: {1} right: {2} .format(acute, obtuse, right))

輸出結果

好吧，其實我就是想驗證一下……

其實立體幾何也是可以解的哦。

A+B+C=180，這樣就有了一個三角錐區間。當然，我們只要用到那個等邊三角形那一面

是銳角三角形的立體區間就是A&<90,B&<90,C&<90。就是一個立方體。。。

這個立方體對應在等邊三角形。。。就是

一眼就看出，銳角是0.25

鈍角0.75

直角三角形對應的。。。只是三條邊，所以面積佔比是0！

銳角三角形，等價圓心在三角形里，也等價三個點無法被一段半圓弧所包括。也就是等價任取兩個點，第三個點在其他兩個點組成的小圓弧關於圓心對稱的圓弧里。

由於圓上每個點選取的概率是一樣的，這個小圓弧最大是接近半圓，所以隨機選取第三個點使其成為銳角三角形的概率為1/2，小圓弧最小接近0，所以選取第三個點使其成為銳角三角形概率為0。

由於小圓弧的長度是0到1/2的均勻分布，所以銳角三角形的概率就是(1/2+0)/2 = 1/4

銳角三角形，即圓心在三角形內。首先選兩條直徑L1,L2（概率為1，兩條直徑重合的概率為0），在任意確定圓上一點為C，選好的兩條直徑L1任意挑一個端點作為三角形頂點，對L2同樣操作，一共四種情況，僅有一種為銳角三角形，所以1/4。

1/4，用微積分解。

解法1：將銳角的問題轉化為二位平面上的陰影部門面積，B和C的取值範圍都是（0，2pi), 所以陰影部分面積是1/4，概率為0.25

解法2：轉化為不等式的方式進而轉化為面解決。三段弧的關係轉化到不等式上。

在x,y,z的三維坐標系的某個平面解決。

x+y+z=2Pi是一個一定要滿足的等式，就是過(0, 0, 2pi),(0, 2pi, 0), (2pi, 0, 0)三個點的平面，滿足三個不等式的部分就是中間那一塊的陰影，面積佔比就是0.25。

三角形的三個頂點A/B/C都在圓上

(1)先任意在圓上畫一條直徑，將圓均分成Part1和Part2

(2)在直徑和元的兩個交點中，任選一個作為A

(3)在圓上除了兩個交點外，任選一個點作為B，那麼這個B點一定是落在Part1或是Part2

(4)此時只有兩種情況，而且幾率各是50%

如果C和B在同一個Part上，那麼三角形是鈍角三角形；

如果C和B在不同的Part上，那麼三角形是銳角三角形

（有錯誤，慎看）

銳角為1/4。

思路：

假設有一個銳角三角形ABC，那麼其外接圓的圓心O點一定在三角形的內部。

找到ABC點關於O點的對稱點DEF，連接BD，CD，AE，CE，AF，BF。

那麼ABF，ACE，BCD是鈍角三角形，因為其三角形外接圓圓心O點在三角形的外面。

所以在一個圓中如果找到一個銳角三角形，那麼就對應有三個鈍角三角形。

由於出現直角三角形概率為0（不可能事件），所以銳角三角形出現概率為1/4。