跟誰博弈影響博弈結果嗎？——一個實驗

在有關思維層級的文章里，我介紹了一個簡單的遊戲。

1、參與實驗的每個人（假設參與實驗的人數非常龐大）寫下一個整數，要求這個整數位於[0,100]之間；

2、所有寫下的數字x滿足的人獲勝。解釋一下，表示所有人寫的數字的平均數。

這個遊戲精妙的地方是，1、不同的數字幾乎直接代表了自己的思維層級；2、遊戲規則足夠簡單，任何具備簡單數學知識的人都可以理解。請你想一個滿足這兩個條件的遊戲（Which is very difficult），可以觀察普羅大眾的思維層級。

但是，這個遊戲卻並沒有直接結論，「獲勝的人是最聰明的」。甚至我在文章最後得出的「大部分人都是2層思維層級」都是值得推敲的。那麼，科學一點的說法應該是，「獲勝的人對普羅大眾的思維層級判斷是很準確的」。評論中有人說了這麼一件事（我沒有去考證，假設是真的）：「記得耶魯的學生好像最終是10左右，確實比普通人聰明很多啊」。這個結論是不對的，因為有可能，當你已知你面對的是耶魯的學生時，你會對他們的思維層級有一個預判。

那麼，實際情況下，跟誰博弈會影響博弈的結果嗎？讓我們來看一個實驗。（以下圖表不特別指出，均引自：Palacios-Huerta I, Volij O. Field centipedes[J]. The American Economic Review, 2009, 99(4): 1619-1635）

讓我們先看一下這次是做什麼博弈（圖1）？

這是一個規則簡單的序貫博弈(sequential move game)，參與博弈的兩個人（記為玩家「白」和玩家「黑」，以白點和黑點表示）輪番行動。在輪到他們行動時，他們可以採用的選擇分別用各邊（具體的，每個人都有兩個選擇：就此停止Stop還是繼續遊戲Continue）表示。他們在行動時，很清楚前面每個人是如何選擇的（歷史消息清楚）。他們選擇後，如果遇到括弧，遊戲結束，本遊戲結算，白字表示白點（實際上是玩家「白」）的收入，黑字表示黑點（實際上是玩家「黑」）的收入。

現在假設你是玩家「白」，你最理性的做法是什麼？如果你是玩家「黑」，你最理性的做法是什麼？（也就是你們的均衡策略）（請思考一會作答，提示：Backward Deduction）

……

……

沒錯，不管你是玩家「白」還是你是玩家「黑」，你最佳的選擇都是，只要輪到我選擇，我就選「就此停止Stop」。（這也是唯一的納什均衡，這個均衡被稱作子博弈納什均衡）

讓我們現在看看，這個遊戲精妙的地方。每次你選擇了Continue，你都把命運交到了對方的手裡。而且，每次你把命運交到別人的手裡，你的收益都有降低的風險。實際上，如果博弈雙方都是純理性的，你選擇Continue的後果就是你的收益就100%會降低（本例中是腰斬）。故而，在純理性的兩個玩家博弈時，我們應該長期觀察到結果：玩家「白」選擇Stop，最後拿到4塊，玩家「黑」拿到1塊。遊戲結束。請你一定要認定這個結論再繼續看。

實際情況呢？讓我們假設玩家「白」現在停在了他第二次選擇時，也就是圖中左數第三個點。他選擇停止可以拿到16塊，選擇繼續就是把命運交到玩家「黑」手裡。他會如何想？「奇怪，我在第三個點，就意味著玩家「黑」在第二個點時選擇了Continue」。如果他認為這是一種示好，他就有動機繼續選擇Continue，期待玩家「黑」也會繼續選擇Continue。這實際上是非理性的。但實際生活中這個會不會發生呢？如果會發生，在什麼樣的人群中「理性」更容易體現呢？Palacios-Huerta I, Volij O就用這個圖1的實驗邀請象棋手（Chess Player）和學生（Student）分別互相博弈，來觀察結果。（他們實際上有一個符合生活常識的基本假設，象棋手比學生更理性）

這裡需要解釋的，下面各表f1-f7分別代表圖中括弧中的7個輸出，其中f1代表（4,1），f2代表（2,8），f3代表（16,4），f4代表（8,32），f5代表（64,16），f6代表（32,128），f7代表（256,64）。表中的小於1的數字大部分表示結果停在這個輸出的概率。

先來看錶1和表2，分別代表「學生VS學生」和「象棋手VS象棋手」。可以觀察到，「學生VS學生」時，只有很小的概率遊戲會在（4,1）就終止。納什均衡幾乎完全達不到。與之相反的是，「象棋手VS象棋手」結果非常貼近納什均衡。尤其是玩家「白」是大師級象棋手的時候，遊戲幾乎必然終止在（4,1）。

再來看一張表5的結果，也非常有意思。I和IV的結果分別是「學生VS學生」和「象棋手VS象棋手」，這個前面已經分析過了。讓我們把關注點放在II和III，他們都表徵「學生VS象棋手」，區別是哪個先手（或，哪個是玩家「白」）。我們驚喜的發現，相對於「象棋手VS象棋手」，在第一個結點遊戲就結束的概率大大降低了，納什均衡變得不容易達到了。這時候，我問各位看客，是象棋手「變笨了」嗎？各位可能已經有解答了。當「象棋手VS象棋手」時，他們互相清楚對方是理性的，故而遊戲非常貼近納什均衡。當「學生VS學生」時，即使他們是理性的，他們也並不清楚對方是不是理性的，故而納什均衡幾乎達不到。而當「學生VS象棋手」時，學生知道象棋手是理性的，象棋手卻不知道學生是不是理性的。因此，有兩個現象值得討論，一是當學生知道對手是象棋手（而不是學生）時，遊戲在（4,1）結束的概率大幅提升了（II相對於I：平均提高了10倍）。二是當象棋手被告知與之博弈的是學生（而不是其他象棋手）時，遊戲結束在（4,1）的概率降低了（III相對於IV：幾乎降低了1/2）。

在這個普通的（而且有意思的）實驗中，我們可以看出，和誰博弈實際上會影響博弈結果。

推薦閱讀：