美聯儲加息概率的今生前世

自14年2月耶女皇上台後，美聯儲加息訊息開始不斷刺激全世界投資者的神經，每一次FOMC meeting 彷彿成為了宇宙焦點，trader們一邊兩眼死盯著4寬屏且自帶imax 效果高大上到爆的彭博終端，另一邊認真聽著FOMC meeting 記者問答（此為YY場景，如有雷同，請勿BB）。FOMC會議紀要被媒體及專業人士反覆推敲解讀，大家都在猜測耶女皇的心。誰知女人心海底針，某G投行猜一次錯一次，never get it right，從去年12月預期16年加息4次到今年2月改成加息3次，再到上周改成加息2次，換的頻率比思聰哥哥換女朋友的都高，你說還靠譜么？言歸正傳，其實大家都會發現，每次美國公開經濟數據後，新聞上都會報道「基於此次經濟數據，市場預計美聯儲X 月加息概率為XX%」。那麼這個概率是怎麼來的呢？自己去CME 網站找了官方的methodology notes，裡面的解釋過於簡單，反正我是看了好幾遍還是不完全懂，智商不夠也是苦。於是求助baidu, 知乎，google。。。。結果找到的大多是methodologynotes 翻譯版。最後還是被我找到了某一經濟學journal 的一篇關於聯邦基金利率期貨的文章，結合裡面的內容和自己的思考，記錄下自己對加息概率的理解（年紀大了記性不好，不記下來說不定過兩天就忘了）。第一次寫這麼科普的文章，如有任何錯誤，請多多包涵and let me know。

聯邦基金利率期貨（Fed Funds Futuresor FF）

首先先引入一個概念。什麼是聯邦基金利率期貨（後面用FF代替）？大家都知道美聯儲加息加的是聯邦基金利率（Fed Funds Rate），也就是存款機構在聯邦基金市場以無擔保隔夜形式向其他銀行借出自己多餘的準備金所要求的成本。拆入資金的存款機構為了鎖定拆借成本，自然需要一個金融工具，即聯邦基金利率期貨(之後都用「FF」代替)。

FF合約在芝加哥期貨交易所交易。合約size最小五百萬美元，期限為30天，每一個月都有相應的合約。報價方式為（100 – Implied Fed Funds Rate）。例如2016年5月的合約報價為99.635， 則5月隱含實際聯邦基金利率（Implied Fed Funds Effective Rate）為0.365% （100-99.635），也可以理解為市場預計5月日平均實際聯邦基金利率為0.365%。這裡需要註明的是FF反映的是實際聯邦基金利率(Fed Funds Effective Rate or FFER)，而非利率決議公布的聯邦基金利率（Fed Funds Rate）。兩者區別在於Fed Funds Rate 是美聯儲公布的Target rate, FFER 為市場上實際成交的利率，不一定等於target rate。

美聯儲加息概率計算

扯了這麼多，終於寫到正題了。也許大家已經猜到，市場對美聯儲加息概率正是基於FF計算出來的。通常它會隨著FF價格不斷更新，並在芝加哥商品交易所網站Fed Watch Tool 中公布。根據其公布的methodology notes（此notes 寫的無比簡單，很多要點都沒有解釋清楚），這個計算有三個假設：1）美聯儲每次加息幅度均為25個基點，2）聯邦基金利率不可低於0，也就是說假設美聯儲不可能實行負利率政策，3）如果某一個月無FOMC 利率決議，但前一個月有，那麼當月FF價格完全反應且只依賴於前一個月FOMC利率決議結果。即使下一個月又有FOMC利率決議，當月期貨合約價格與其無關。例如，16年第二季度的FOMC 利率決議月為4月和6月，則5月的FF價格只取決於4月的利率決議結果，而與6月的決議無關。

假設完了，公式來了（知乎公式輸入特別麻煩，將就得看了）：

P(Fed Funds Rate Hike) =

M = FOMC 利率決議月

M+/- 1 = FOMC 利率決議月前/後一個月

例如，16年6有一次FOMC利率決議，截至5月20日，5月的FF收盤報價 FF(May) = 99.635，7月的期貨合約收盤報價FF(Jul) = 99.560。則6月加息概率為

P(Fed Funds Rate Hike)=((100-99.560)-(100-99.635)) / 0.25=30%

說明FF價格應經包含30% 的加息幅度，即市場預期6月加息概率為30%。

但是這個公式有一個問題，根據16年FOMC 利率決議schedule, 7月會再有一次決議，因此7月FF 價格不僅會受6月利率決議的影響，還會受7月利率決議預期影響。而我們要計算的是6月加息概率，使用7月的FF 價格會得出一個biased result。所以對於一個特定的利息決議月，只有其前後月都沒有利息決議時，才可用上述公式計算。查看下FOMC 利息決議歷史schedule 就可發現這種理想的情況不可能存在。因此我們需要分情況調整公式。

假設我們要計算M月加息概率

情況I：M-1月無決議，M+1月有決議

P(Fed Funds Rate Hike)=

其中：

Adjusted Implied Fed Funds Rate (M)=

N = M月總天數

D = M月FOMC召開日期 - 1

用例子解釋更清楚點。繼續剛才例子，計算6月加息概率，因為7月也有利率決議，所以不能用7月FF價格，我們就用6月FF價格替換。6月期貨合約截至5月20日收盤報99.6。這個數字還不能直接用，因為6月議息公布日為6月15日，即使加息，也是從15日開始，即分母25 bps 所代表的時間段為15日至30日。而分子中6月期貨合約價格代表的是整個6月日平均實際聯邦利率，它由決議前日平均實際聯邦基金利率和決議後利率預期兩部分組成。分子分母所代表的時間段相矛盾，不可直接比較，需作調整，去除決議前14天的影響。

調整後6月隱含聯邦基金利率 = =0.43063%

5月 隱含聯邦基金利率 = 100 - FF(May) = 100-99.635% = 0.365%

市場預計6月加息概率 = (0.43063% - 0.365%) / 0.25% = 26.3%

對照CME Group Fed Watch Tool計算結果，兩者吻合。就在周二（5月17日）這個數字還只停留3%左右，後來美聯儲宣布要在月底和6月初進行小規模出售國債和MBS後，市場認為美聯儲會通過縮表抽流動性，周三加息概率即上飆至18%。加之接連兩天聯儲官員偏鷹派講話，以及周四聯儲公布的4月會議紀要釋放6月或加息的訊號，6月加息概率更是爬至26%。

情況II: M-1月有決議，M+1月無決議

P(Fed Funds Rate Hike)=

其中：

Adjusted Implied Fed Funds Rate (M) =

N = M月總天數

D = M月FOMC召開日期 - 1

同樣的，和情況I一樣，為了讓分母分子代表時間段相同，去除非相關時間段影響，需要對當月FF價格作調整，具體就不贅述了，和情況I原理一樣。另外，如果要計算6月決議之後的加息概率，比如7月，這個概率也就變成了conditional probability， 這個condition 就是6月是否會加息，如果6月已經加息，7月的加息概率就需建立在此基礎上，如果不加息，7月的概率又是另外一個數字（如下圖）。所以，預測時間跨度越長，condition 越多，最後算出來的conditional probability 就越不靠譜。

美聯儲加息概率準確么？

最後簡單討論下這個概率的準確性。Empirically, 有人做過研究，結論是市場通常會在加息環境中高估加息概率，在降息環境中低估。所以這個概率基本不能預測美聯儲下一步是加息還是不加息。不要妄加猜測耶女皇的心。但是trade們還是可以通過它來判斷market view，來作為交易的reference。【完】

by Miller

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