微分中值定理證明題中構造輔助函數的方法

02-10

聲明：本文為原創文章，首發於微信公眾號「湖心亭記」

微分中值定理應用中，怎麼尋找輔助函數，是比較頭疼的一件事。今天筆者就介紹下三種方式幫忙尋找到這個函數。

首先聲明：這三種方式也不是萬能的，但對常見題目還是挺有幫助的，而且學霸們應該都知道這些方法，故慎入。因此本文目的是向還沒留意過這些方法的同學做普及，尤其是線下筆者所帶的那些可愛的學生們。至於還有些仗著自己有點學識就恨不得鄙視這個、鄙視那個，恨不得日天日地日地球的所謂學霸請自行繞道。

一、積分原函數法

具體方法簡述：將要證明的式子整理為 $[varphi left( xi ight) = 0]$ （一般不包含分式），然後令 $[Fleft( xi ight) = varphi left( xi ight)]$ ，對兩邊式子分別積分，則有 $[Fleft( xi ight) = int {varphi left( xi ight)} dxi ]$ ，那麼F(x)就是我們所求的輔助函數。

說白了，就是將所證明的表達式進行積分還原，如果能夠還原成功，那麼成功找到的這個F(x)就是我們苦苦尋找的輔助函數。

還不懂？沒事，舉兩個例子。

例1：設f(x)、g(x)在[a,b]上連續，(a,b)內可導，且 $[g(x) e 0]$ ，證明：在（a,b）存在 $[xi ]$ ，使得 $[frac{{fleft( xi ight) - fleft( a ight)}}{{gleft( b ight) - gleft( xi ight)}} = frac{{fleft( xi ight)}}{{gleft( xi ight)}}]$ 。

解析：這是非常常見的一道題。估計即使做過了這道題，還有很多同學很迷惑，解答中的輔助函數到底是咋構建出來的。其實利用原函數法，很容易就找到這個輔助函數了。

首先先所證明的分式整理成易觀的式子，如下：

$[F(xi ) = g(xi )f(xi ) + f(xi )g(xi ) - f(a)g(xi ) - g(b)f(xi )]$

然後我們令：

$[F(xi ) = g(xi )f(xi ) + f(xi )g(xi ) - f(a)g(xi ) - g(b)f(xi )]$

好，對上式兩邊進行積分，如下：

$[egin{array}{*{20}{l}} {F(xi ) = int {g(xi )f(xi ) + f(xi )g(xi ) - f(a)g(xi ) - g(b)f(xi )dxi } }\ { = int {fleft( xi ight)dg(xi )} + int {g(xi )d} fleft( xi ight) - f(a)g(xi ) - g(b)f(xi )}\ { = f(xi )g(xi ) - int {gleft( xi ight)} dfleft( xi ight) + int {g(xi )d} fleft( xi ight) - f(a)g(xi ) - g(b)f(xi )}\ { = f(xi )g(xi ) - f(a)g(xi ) - g(b)f(xi )} end{array}]$

所以我們要尋找的輔助函數就為：

$[F(x) = f(x)g(x) - f(a)g(x) - g(b)f(x)]$

很容易驗證：

$[F(a) = F(b) = - f(a)g(b)]$

於是根據羅爾定理，在(a,b)上存在一點 $[xi ]$ ，使得 $[Fleft( xi ight) = 0]$ ，也就是：

$[g(xi )f(xi ) + f(xi )g(xi ) - f(a)g(xi ) - g(b)f(xi ) = 0]$

整理便可得題目中的式子，因此原題得證。

註：原函數法特別適合所證式子中包含f(x)和g(x)兩個函數的情況。

例2：拉格朗日中值定理的證明。

解析：教材上給出了一種輔助函數的構造方法。其實我們利用原函數法完全可以找到另一種輔助函數。

分析式子 $[frac{{f(b) - f(a)}}{{b - a}} = f(xi )]$ ，整理為 $[f(xi ) - frac{{f(b) - f(a)}}{{b - a}} = 0]$ ，兩邊同時積分，得到 $[F(xi ) = f(xi ) - frac{{f(b) - f(a)}}{{b - a}}xi = 0]$ 。因此 $[F(x) = f(x) - frac{{f(b) - f(a)}}{{b - a}}x]$ 就是我們要找的輔助函數。是不是跟教材上的那個不太一樣啊。沒關係，我們來驗證下。

非常容易驗證：

$[F(a) = F(b) = frac{{bf(a) - af(b)}}{{b - a}}]$

因此滿足羅爾定理，拉格朗日得證。

二、微分方程法

方法簡述：將所證明的表達式 $[varphi left( {fleft( xi ight),fleft( xi ight),xi } ight) = 0]$ 看成是微分方程 $[varphi left( {fleft( x ight),fleft( x ight),x} ight) = 0]$ ，從中求解F（y,x）=0，然後忽略掉常數項，替換為F(f(x),x)就是我們要找的輔助函數了。

運用該方法，關鍵在於構造的微分方程比較容易求出f(x)。舉個例題，如下：

例3：已知f(x)連續，且f(a)=f(b)=0，求證在(a,b)上有一點 $[xi ]$ 使得 $[frac{{fleft( xi ight)}}{{ - 2xi }} = fleft( xi ight)]$ 。

解析：先將式子進行整理為 $[fleft( xi ight) + 2xi fleft( xi ight) = 0]$ ，那麼這是一個很簡單的微分方程了 $[frac{{dy}}{{dx}} + 2xy = 0]$ 。學過微分方程的應該都會做，分離變數嘛。如下：

$[egin{array}{l} frac{1}{y}dy = - 2xdx\ int {frac{1}{y}dy} = int { - 2xdx} \ ln y = - {x^2} + C end{array}]$

此時我們把常數當做0，就有 $[ln y = - {x^2}]$ ，也就是 $[y = {e^{ - {x^2}}}]$ ，進一步得到 $[y{e^{{x^2}}}]$ -1=0.那麼我們忽略常數項，則 $[F(x) = fleft( x ight){e^{{x^2}}}]$ 就是我們要找的輔助函數了。

非常容易驗證F(a)=F(b)=0，那麼由羅爾定理就有 $[F(xi ) = fleft( xi ight){e^{{xi ^2}}} + 2xi {e^{{xi ^2}}}fleft( xi ight) = 0]$ ，也就是 $[fleft( xi ight) + 2xi fleft( xi ight) = 0]$ ，整理則題目得證。

三、常用表格對照

上面兩種方法不是萬能，有時候總有更複雜的輔助函數構造起來很麻煩。根據經驗，筆者之前整理了一個羅爾定理常用的輔助函數表格。現在再放一下，如下：

怎麼用呢？還是用一道例題來說明。

例4：f(x)與g(x)在(a,b)上可導，且有f(a)=f(b)=0，試證明在(a,b)上存在一點 $[xi ]$ ，使得 $[fleft( xi ight) + fleft( xi ight)gleft( xi ight) = 0]$

解析：首先微分方程法行不通，因為包含了f(x)和g(x)兩個函數，沒學過這樣的微分方程如何求。再看看用原函數法呢？如下：

$[egin{array}{l} int {fleft( xi ight) + fleft( xi ight)gleft( xi ight)dxi } \ = fleft( xi ight) + int {fleft( xi ight)} dgleft( xi ight) end{array}]$

也積不出什麼函數出來。

這個時候我們可以使用上面的表格（其實表格不必死記硬背，經常看看有個印象就行）。我們對照下所證表達式，是不是跟第四行的原式那一列非常相像，從而所構造的輔助函數就為F(x)=f(x)*e^g(x)。

因此，我們構造函數F(x)=f(x)*e^g(x)，根據題目易得F(a)=F(b)=0，那麼根據羅爾定理就有在(a,b)上存在一點 $[xi ]$ 使得 $[Fleft( xi ight) = 0]$ ，即 $[fleft( xi ight){e^{gleft( xi ight)}} + fleft( xi ight){e^{gleft( xi ight)}}gleft( xi ight) = 0]$ ，我們約去 $[{e^{gleft( xi ight)}}]$ ，就得到 $[fleft( xi ight) + fleft( xi ight)gleft( xi ight) = 0]$ ，題目得證。

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特別說明：具體題目使用哪一種方法呢？沒有特別規定的情景，說不定一道題三種方法都行得通。但是這三種方法不是萬能的，題目無窮無盡啊，很難找到能夠適用於所有題目的方法。

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然而上面的方法雖然不是萬能的，但在做題時卻能給我們指明方向，帶來一些靈感。下面筆者就再舉一個例題來說明這種情況吧。

例5：函數f(x)在[0,1]上連續，在(0,1)內二階可導，且過點A(0,f(0))與B(1,f(1))的直線與曲線y=f(x)相交於點C(c,f(c))，其中0<c<1.求證在(0,1)內有一點 $[xi ]$ ，使得 $[fleft( xi ight) = 0]$

解析：這顯然是微分中值定理應用的證明題。直接給答案沒多大意義，筆者就專門分析下思路是怎麼來的。

解法一：我們使用上面的原函數法來試一試。如下：

$[egin{array}{l} int {fleft( xi ight)} dxi = fleft( xi ight) + C\ int {fleft( xi ight) + Cdxi = fleft( xi ight)} + Cxi + k end{array}]$

那麼我們可以發現所構造的輔助函數應該為 $[f(x) + cx + k]$ 形式。也就是說雖然原函數法沒有給出我們具體的輔助函數是什麼（因為c和k沒法求出），但是給出了我們構造輔助函數的方向，這是相當寶貴的！

好，那麼我們的重點就應該看看 $[f(x) + cx + k]$ 中的c和k要怎麼來找出來。進一步觀察輔助函數形式，其實就為f(x)與一條直線的和，因為cx+k就是一條直線啊。那麼就給我們一個啟示，往題目中的已知條件中來找尋這條直線。顯然題目暗示的已經很明顯了，就是直線AB。

很容易就求出AB的表達式：y=[f(1)-f(0)]x+f(0)

那麼我們所構造的輔助函數就是F(x)=f(x)-y=f(x)- [f(1)-f(0)]x-f(0)

有同學奇怪這麼為什麼將加號換成了減號呢？在此時的方法中筆者是根據經驗來的，往往就是減號（但在同濟版高數教材拉格朗日定理證明中有另一番解釋，感興趣者可回看）。即使你在這裡按部就班的構造成F(x)=f(x)+y，在下面的分析中會發現還是得回過頭將這裡的加號改為減號。這裡筆者為了篇幅，就直接根據經驗來了。

好了，輔助函數找到了。經驗告訴我們，題目讓證二階導數點為0，那麼勢必要兩次運用羅爾定理。題目也給出了非常明確的暗示了，就是先在(0,c)上和(c,1)上先分別運用羅爾定理。那麼就必須有F(0)=F(c)和F(c)=F(1)，也就是說必須有F(0)=F(c)=F(1)。那麼到底有沒有呢？我們來驗證下。

很容易驗證F(0)=F(1)=0。

然而F(c)=f(c)- [f(1)-f(0)]c-f(0)卻一時半會判斷不出來是否為0。這個時候就有同學開始著急了，覺得是自己想錯方向了。別急，也別放棄。因為顯然題目中的已知條件你還沒用完啊。點C在直線AB上，這個條件你還沒用呢！！又這個條件可得[f(1)-f(0)]c=f(c)-f(0)。代入F(c)的表達式，就有F(c)=0.

於是就有F(0)=F(c)=F(1)=0了。

那麼我們首先在(0,c)上和(c,1)上各用一次羅爾定理，就有在（0,c）上存在 $[{xi _1}]$ 使得 $[fleft( {{xi _1}} ight) = 0]$ ，同時在（c,1）上存在 $[{xi _2}]$ 使得 $[fleft( {{xi _2}} ight) = 0]$ ，那麼再在 $[left( {{xi _1},{xi _2}} ight)]$ 上運用羅爾定理，就得到在 $[left( {{xi _1},{xi _2}} ight)]$ 上有一點 $[xi ]$ ，使得 $[fleft( xi ight) = 0]$ ，題目得證。

解法二：有的同學嫌兩次利用羅爾定理麻煩，而且如果不會用原函數法來尋找思路方向。那麼沒關係。我們完全可以根據對題目的深入剖析來得到另一種較好的思路。

我們根據題目中對三點A、B、C的狀態描述，來嘗試畫出f(x)的大概草圖。會發現只能如下所示：

那麼大家觀察這個圖，尤其是圖中三條平行的紅線直線，想到了什麼？？熟悉拉格朗日中值定理的幾何意義的都會知道，這分明跟拉格朗日中值定理的幾何意義圖示一模一樣啊。

其實再仔細觀察思考下，拉格朗日中值定理的幾何意義是以A到B為長度來描述的，而且只是表述了存在一根紅線與AB平行。然而正如上圖所畫，實際上是存在兩根紅線與AB平行的。按照朗格朗日，一根紅線可以得到一個 $[xi ]$ ，即根據 $[frac{{f(b) - f(a)}}{{b - a}} = f(xi )]$ 得到。那麼兩根紅線應該能得到兩個 $[xi ]$ ，而且還是兩個不同的 $[xi ]$ 。怎麼得到呢？變通下，不再以AB為長度了，分別以AC和CB來做拉格朗日不就行了嘛。而且題目也暗示了很明顯了，擺明讓我們一C作為分段點來做。

因此我們按照方向，就分別有如下結果：

$[frac{{f(c) - f(0)}}{{c - 0}} = f({xi _1})]$

$[frac{{f(1) - f(c)}}{{1 - c}} = f({xi _2})]$

好了，題目讓證明二階導數點為0，顯然應該有 $[fleft( {{xi _1}} ight) = fleft( {{xi _2}} ight)]$ 。那麼他倆等於不等於呢？稍加思考就會發現鐵定等於啊。因為 $[frac{{f(c) - f(0)}}{{c - 0}}]$ 和 $[frac{{f(1) - f(c)}}{{1 - c}}]$ 表示的都是直線AB的斜率啊，肯定是相等的！！

於是問題已經得到證明了。剩下的步驟我就不寫了。

說明：其實問題分析到這個地步，題目的意義已經很明顯了，說白了，就是如果二階導數存在，拉格朗日中值定理中隱含了存在二階導數為0的點。而題目就是要我們證明這個隱含條件而已，本質上還是屬於拉格朗日中值定理的一部分。