從∫e^x*sinxdx出發——積分隨想（I）

02-10

我曾經做到過一題積分題，這是一題讓我印象深刻的積分題

何出此言？

這題的解法教會了我三點

1、積分之後產生的一部分可能能和原式相加或者和原式一部分抵消（抵消的例子以後再補）

2、在多次積分具有規律性（等我學完微分方程再回來換個術語）的情況下，可以多次運用分部積分，將另一部分不斷簡化，如另一部分也具有類似性質，則可以產生1中所述循環和抵消

3、當有兩個適合作為v被分部積分時，對誰進行操作都可以

以下貼出該題常規解法

$int e^xsinxdx\ =int sinxde^x\ =e^xsinx+C-int e^xcosxdx\ =e^xsinx+C-int cosxde^x\ =e^xsinx-e^xcosx+C-int e^xsinxdx\ ∴2int e^xsinxdx=e^x(sinx-cosx)+C$

$int e^xsinxdx=frac{e^x(sinx-cosx)}{2}+C$

該方法可謂妙哉，其中的技巧性值得讀者玩味。而且可以擴展到

$int e^{alpha x}sin(eta x+varphi)dx$ （其中，α，β， $varphi$ 均為給定的常量）

（PS：cos相當於sin(x+ $frac{pi}{2}$ )，當然，亦可不做變換直接計算，過程類似）

(PS：操作時把sinx放到微分運算元里也是可行的，操作難度一樣)

然而，拋開技巧性而言，是否有更快，更好算的方法呢？

有。

以下三種方法，都可以用於求解類似題目，筆者按難易順序升序書寫

第一種方法，是考慮到了sinx和cosx在分部積分時互換的現象，因此只要一開始「借」一個cosx，便可僅通過一次分部積分完成所需操作

$int e^xsinxdx\ =int e^x(sinx-cosx)dx+int e^xcosxdx\ =int (sinx-cosx)de^x+int e^xcosxdx\ =e^x(sinx-cosx)+C-int e^x(cosx+sinx)dx+int e^xcosxdx\ =e^x(sinx-cosx)+C-int e^xsinxdx$

$2int e^xsinxdx=e^x(sinx-cosx)+C\ int e^xsinxdx=frac {e^x(sinx-cosx)}{2}+C$

但是該方法在帶了上述α等常數時，難以直接觀察得出要「借」多少∫e^xcosxdx

（PS：這種方法還有更加抖機靈的做法，可以不必最後移項，由於此法極其無趣，筆者將其留在評論區中，需要者可自行瀏覽）

第二種方法技巧性高了不少，它是通過觀察，發現原函數與被積函數之間存在著的某種千絲萬縷的關係並加以應用，為體現出其可怕之處，本處直接用含α的式子進行計算

我們先對原式進行求導

$frac{d(e^{alpha x}sin(eta x+varphi))}{dx}= alpha e^{alpha x}sin(eta x+varphi)+eta e^{alpha x}cos(eta x+varphi)$

乍一看是不是覺得式子變複雜了不少？

然而我們進行一個「看起來」很複雜的操作

$令A=sqrt{alpha^2+eta^2} ,phi=arctanfrac {eta}{alpha}\ 則有frac{d(e^{alpha x}sin(eta x+varphi))}{dx}= alpha e^{alpha x}sin(eta x+varphi)+eta e^{alpha x}cos(eta x+varphi)\ =Ae^{alpha x}sin(eta x+varphi+phi)\ 接下來，兩端積分，有\ e^{alpha x}sin(eta x+varphi)+C=int Ae^{alpha x}sin(eta x+varphi+phi)dx\ 然後，做一點小小的變換，即有\ frac {e^{alpha x}sin(eta x+varphi-phi)}{A}+C=int e^{alpha x}sin(eta x+varphi)dx\即為所需原函數$

此法可謂妙極，雖放眼望去，漫天的符號令人望而生畏，然實際運用時可不然，下舉一例

$alpha =sqrt3,eta =1,varphi=0\ 則有frac{d(e^{sqrt 3x}sinx)}{dx}= sqrt3e^{sqrt 3x}sinx+e^{sqrt 3x}cosx\ =2e^{sqrt3 x}sin(x+frac{pi}{6})\ e^{sqrt 3x}sinx+C=int2e^{sqrt3 x}sin(x+frac{pi}{6})dx\ frac {e^{sqrt 3x}sin(x-frac{pi}{6})}{2}+C=int e^{sqrt3 x}sinxdx$

最後要介紹的一種方法，可謂絕妙，它巧妙的用了一種變換，使得被積函數結構大大精簡

沒錯，想必讀者已經猜到，便是用歐拉公式！

關於sinx和cosx對題目無影響上文已論述過，而出於方便歐拉公式應用，下文我們使用

$e^{alpha x}cosbx$ 作為被積函數

(PS：歐拉公式 $e^{i heta}=cos heta+isin heta$ )

此方法巧妙的消除了cosx，並且在最後通過實部與虛部的分離，巧妙的得出了原函數，真妙法也！