七個最美的金融公式

這個話題的答案當然是見仁見智了，不同領域的金融學學者肯定會有不同的看法和偏好，但這不妨礙這篇文章里提到的公式，都曾經或正在金融領域中扮演著某種美妙的角色，也歡迎各位讀者在留言處給出自己最喜歡的金融公式。與物理學一樣，經濟和金融學的數學化，是我們用更規範化和標準化的方法，去描述自己對金融活動中各種各樣現象的見解。這些公式有的解釋了為什麼我們的金融世界是這樣的，有的分析了我們的金融世界是如何變成這樣的，它們橫空出世又不斷被挑戰和質疑，幫助我們每個人更好地去認識這個世界。它們未必準確，但是卻絕對深邃，它們未必複雜，但是卻足夠震撼。

（1）債券定價

這個公式中，c是每年債券支付的利息，r是債券的到期收益率，F則是債券的面值，而P就是債券現在的價格。這個公式十分簡單，但是卻是債券定價理論里最重要理論的體現——債券價格與到期收益率呈現反向變動的關係，即到期收益率越高債券價格就越低。

這一觀點來源於弗雷德里克·麥考利（Frederick Robertson Macaulay）著名的債券定價五大原理，對，你沒看錯，就是麥考利久期的那個麥考利。這個原理一方面體現了債券市場上的買賣關係，用最經典的經濟學供需原理解釋了債券價格的變化（到期收益率的提高是因為市場中基準收益率提高，降低了債券的吸引力，債券必須通過提高未來的收益承諾和降低現在的價格來吸引投資者）；另一方面事實上體現了金融學最經典的現值與終值的理念，把現在與未來結合在了一起，公式中的1+r實際上表示著未來收入的貼現，由於未來的不確定性，承諾的未來收益尤其是距離今日越遠的承諾收益兌現的風險就越高，換算成現在的價值也就越低。這四個字母把未來與現在、風險與收益、供給與需求簡明地結合在了一起，用最通俗的方法解釋了金融是如何對風險資產進行跨期配置的，在我看來這就是金融學中的歐拉公式，所以我認為這就是最美的金融公式。

（2）LM方程

LM方程表示在貨幣市場中，貨幣供給等於貨幣需求時收入與利率的各種組合的點的軌跡，在大多數情況下，我們可以把它畫成一條向右上方傾斜的曲線。在方程中M表示市場中的貨幣量，P是價格水平，M/P就表示剔除價格水平影響的市場對貨幣量的真實需求。而y表示產出水平，r表示市場中的利率水平，而k和h是兩個參數。

這個公式實際上是對凱恩斯的貨幣市場觀的描述，在他看來貨幣需求分為兩種，一個是投機的需求，另一個是交易需求，而這兩種需求是通過k和h來體現的。由於大家的交易需求比較穩定，實際上LM曲線的斜率主要是由我們的投機需求決定的，而LM曲線的斜率又決定了產出水平和利率之間的關係，當利率降到極低時，人們的投機需求變成了無限，LM也變成了一條直線，此時貨幣供給的變化無法影響產出水平，也就是貨幣政策不再產生效果，學界把這個現象稱為「凱恩斯陷阱」。這個著名的宏觀經濟觀點影響了戰後直到70年代幾乎所有國家央媽的操作理念，並且成為此後IS-LM模型等一系列國際金融分析框架的基礎，或許它是貨幣金融學歷史上影響力最大的一個公式。

（3）無稅MM定理

這是公司金融領域的一個思維遊戲，可以說就是物理學裡「真空狀態下的球形雞」理念在金融學領域的投射。在公式中下標含有L和U的兩個V分別表示有負債企業的價值和無負債企業的價值，它們分別等於企業的息稅前利潤除以它們各自的資本成本，並且兩者是相等的。

△莫迪利安尼（Franco Modigliani）

莫迪利安尼和米勒（Modigliani and Miller）兩位大師的文章討論表示，在完美市場中不含稅的情況下，企業採取怎樣的資本結構對於企業的價值來說是沒有影響的。這是現代資本結構理論的雛形和開端，開始讓我們認識到資本成本等因素對於企業價值的作用。後世對資本結構的進一步認識事實上大多都是通過放鬆這個原始MM定理的嚴苛假設進行的，包括兩位M自己進行的含稅MM分析（稅盾的作用）。所以第一次接觸到MM定理時，我不由得想起了高中物理課上那些分析無摩擦的小球的日子。

（4）CML線

毫無疑問現代金融學歷史上最重要的里程碑式理論就是馬科維茨（Harry Markowitz）的均值方差及後續的CAPM理論，其中幾乎每一步推導都是非常美妙的金融學理念的體現，但是我個人最喜歡的是CML這個公式。

它其實體現了我們如何用特殊性來理解金融市場的。通過這條線我們可以得到無風險資產與風險資產在資本市場中的最優組合。在這條線上我們涵蓋了無風險資產、風險資產、市場組合的波動、投資組合的波動、風險溢價、無限借貸等一系列構建CAPM模型的核心概念，在這個由期望收益與標準差構成的二維平面上，這條射線反映了經濟學歷史中最美妙的均衡和最優的概念，可以說包含著金融學中所有的理想畫面。

（5）t檢驗

準確來說這個不是一個金融學公式而是一個統計學公式，但是對於每一個金融研究者來說，這個公式實在太重要了。我們用這個公式來推斷兩個平均數之間是否存在顯著的差異，也就是說我們可以用這個方法來比較實驗組和對照組，對於本身並不存在理科式實驗條件的金融等社會學科來說，這個公式的美妙程度不言而喻。

不過有趣的是，這個公式的正式名稱叫做student』s t test，也就是學生檢驗。以前我一直不明白這個是為什麼，直到看了一個小故事才曉得，這是因為這個方法的提出者威廉·戈塞（William Gosset）當時在給一個酒廠打工，t分布的提出是為了進行產品質檢，酒廠老闆覺得這個方法涉嫌機密，就不準戈塞用自己的名字命名，所以t分布只好用戈塞的筆名Student來命名。金融的大量數據與t分布檢驗的大樣本要求可謂天作之合，但是後世對於金融數據是否符合正態分布的爭議還是為這一分布在金融學中的後續應用造成了影響。不過對於任何一個金融學研究者來說，三顆星星、兩顆星星和一顆星星出現的瞬間，都肯定是人生中一個超棒的時刻。

（6）期權評價公式

嚴格來說應該是歐式期權的平價公式。從矚目程度來說，這裡我們應該寫B-S模型的定價公式，那個公式是金融皇冠上的明珠。但是從數學角度來說，簡潔才是最美的，B-S公式所反映出的理念，我們大致也可以用這個公式進行解釋，所以在這裡我選用了這個公式。

公式兩邊分別是看漲期權價格與行權價現值的和，以及看跌期權價格與期權標的證券現在的價格。在這裡我們需要假設證券價格在行權之前是不變的，而如果可變，那就是B-S公式所要解決的問題了。這個公式將期權市場和股票市場（嚴格來說應該是證券市場）聯繫在了一起，並且通過當投資者無法通過是否在兩個市場中買賣權證來獲得無風險差異作為根本基礎，來確定期權的合理價格。從形式上它是基於股票價格與現值的大小不同，對兩個投資組合進行不同方向的操作，而從內容上它則通過兩個投資組合互相印證價值，體現了金融學中最為核心的無套利思想。

（7）杜邦分析法

這個公式是七個公式中最為簡單的，因為它只是一次簡單地對指標的拆解。但是就像之前所說的那樣，簡單中財蘊含著最深邃的力量。公式右邊的三個分式實際上分別表示企業的銷售利潤率、資產周轉率和槓桿率。

我們都知道凈資產收益率（也就是ROE）對於分析一個企業的健康程度和成長潛力有著如何重要的作用（不清楚的少年可以看我們之前的各種連載），而這樣的分析方法實際上讓我們能夠更清楚地認識一個企業的高ROE，究竟是源於其廣闊的銷售渠道、出色的運營水平還是高超的融資能力（也可能兼而有之），實際上為我們提供了更為豐富的財務分析信息，也拓展了ROE這個概念的深度。這個源自1919年杜邦公司的公式，至今也依然是財務分析領域運用最為廣泛的方法，如果想要了解財務分析的美妙，我想沒有比從這個公式入手更好的了。

事實上，金融學中當然還有許多其他漂亮的公式沒有包括進來，比如銀行界著名的存款乘數公式、P/E與增長率的關係等等。但我認為以上七個公式已經從不同側面描繪了金融學及其理念最美妙的幾個特點，它們的美妙藏在它們的質樸之中，大巧若拙可能是最適合的形容詞了。

【文本首載於微信公眾號「有金有險」】

倍發科技投資研究系統（Betalpha BAR 1.0）：點擊試用

風險管理工具 / 量化投資知識 / 金融大講堂 微信公眾號：betalpha2015（或直接輸入「有金有險」）