路徑積分與Gelfand-Yaglom 方法

02-10

一路徑積分

我們知道量子力學裡面的路徑積分其實是 $U(vec{x_f},t_f;vec{x_i},t_i)=mathcal{N}int_{vec{x_i}}^vec{x_f}d[vec{x}]exp[frac{i}{hbar}int_{t_i}^{t_f}dt(frac{1}{2}m(frac{dvec{x}}{dt})^2-V(vec{x})]$ 的泛函積分

其中 $mathcal{N}$ 是與 $vec{x(t)}$ 無關的係數， $int d[vec{x}]=lim_{M oinfty}int(prod_{i=1}^{M-1}dvec{x_i})$

誠然，一般情況下這個積分計算很難。Gel`Fand和Yaglom1960年發表在 Journal of Mathematical Physics上的文章給出了一個近似的求解方法，這個方法對諧振子勢能給出嚴格解。

二 Gelfand-Yaglom方法

考慮 $s[vec{x}]=int_{t_i}^{t_f}dt(frac{1}{2}m(frac{dvec{x}}{dt})^2-V(vec{x})$

讓 $vec{x}=vec{x_{cl}}+vec{xi} quad其中vec{x_{cl}}是用拉格朗日方程解出來的經典路徑$

$則s[vec{x}]=int_{t_i}^{t_f}dt(frac{1}{2}m(frac{dvec{x}}{dt}+frac{dvec{xi}}{dt})^2-V(vec{x}+vec{xi})) \=int_{t_i}^{t_f}dt(frac{1}{2}m(frac{dvec{x}}{dt})^2+frac{1}{2}m(frac{dvec{xi}}{dt})^2+mfrac{dvec{x}}{dt}frac{dvec{xi}}{dt}-V）$

對第三項用分部積分可得到 $int mfrac{dvec{x}}{dt}frac{dvec{xi}}{dt}dt=-int mfrac{d^2vec{x_{cl}}}{dt^2}{xi}dt\ =int frac{dV(vec{x})}{dvec{x}}_{vec{x}=vec{x_{cl}}}{cdot}{vec{xi}}dt$

再把V展開 $V(vec{x_{cl}}+vec{xi})=V(vec{x_{cl}})+frac{dV}{dvec{x}}|_{vec{x}=vec{x_{cl}}}cdot vec{xi}+frac{1}{2}frac{d^2V}{dvec{x}dvec{x}}|_{vec{x}=vec{x_{cl}}}{colon}vec{xi}(t)vec{xi}(t)+...$

$S=S[vec{x_{cl}}]+frac{1}{2}int dt(m(frac{dvec{xi}}{dt})^2-frac{d^2V}{dvec{x}dvec{x}}|_{vec{x}=vec{x_{cl}}}{colon}vec{xi}(t)vec{xi}(t)+...)$

$令momega^2(t)=frac{d^2V}{dx^2}|_{vec{x}=vec{x_{cl}}}$

然後帶入最原始的路徑積分中，略去高階項：

$U(vec{x_f},t_f;vec{x_i},t_i)cong e^{frac{i}{hbar}S[vec{x_{cl}}]}mathcal{N}int_{xi(t_i)=0}^{xi(t_f)=0}d[vec{xi}]exp(frac{im}{2hbar}int_{t_i}^{t_f}dt ((frac{dvec{xi}}{dt})^2-omega^2vec{xi})\ =e^{frac{i}{hbar}S[vec{x_{cl}}]}f(t_f,t_i)$

Gel`Fand和Yaglom給出 $f(t_f,t_i)=lim_{M oinfty}(sqrt{frac{m}{2pihbar i riangle t}}frac{1}{sqrt{Det[A_{M-1(omega)}]}})^d\ d是系統的維度 quad riangle t=frac{t_f-t_i}{M} 而[A_{M-1(omega)}]=egin{bmatrix} 2-( riangle t)^2omega^2_{M-1} & -1 & 0&... \ -1 & riangle t)^2omega^2_{M-2}&-1&\0&-1&ddots&ddots\ &&ddots end{bmatrix}quad$

$引入psi_N= riangle t Det[A_N(omega)]\ Det[A_N]=(2-( riangle t)^2omega^2_N)Det[A_{N-1}]-Det[A_{N-1}]\ 即frac{psi_N-2psi_{N-1}+psi_{N-2}}{( riangle t)^2}=omega^2_Npsi_{N-1}\ 對應的A_1=2-( riangle t)^2omega^2_1quad A_2=(2-( riangle t)^2omega^2_1)(2-( riangle t)^2omega^2_2)-1$

$在M oinfty下,上式子化為frac{d^2psi(t)}{dt^2}=-omega^2(t)psi(t)\ psi(t_i)=lim_{ riangle t o infty}psi_1=0quadfrac{dpsi(t)}{dt}|_{t=t_i}=1$

則 $f(t_f,t_i)=(sqrt{frac{m}{2pihbar ipsi(t_f)}})^d$

三例子：諧振子

對諧振子， $V=frac{1}{2}momega^2x^2$

對應的 $psi(t_f)=frac{sin{omega(t_f-t_i)}}{omega}$

而 $x_{xl}=frac{x_fsin{omega(t-ti)}-x_isin{omega(t-t_f)}}{sin{omega(t_f-t_i)}}$

$S[x_{cl}]=frac{momega}{2sin{omega(t_f-t_i)}}{(x^2_i+x^2_f)cos{omega(t_f-t_i)-2x_fx_i}}$

直接可以得到 $U({x_f},t_f;{x_i},t_i)=(sqrt{frac{m{omega}}{2pihbar i{sin{omega(t_f-t_i)}}}}) imes exp{frac{momega}{2sin{omega(t_f-t_i)}}{(x^2_i+x^2_f)cos{omega(t_f-t_i)-2x_fx_i}}}$

參考資料：

GelFand, I. M., & Yaglom, A. M. (1960). Integration in functional spaces and its applications in quantum physics. Journal of Mathematical Physics,1(1), 48-69.

Stoof, H. T. C., Gubbels, K. B., & Dickerscheid, D. B. M. (2009). Ultracold Quantum Fields. Springer Netherlands.