英文數學教材中一些詞的用法解釋

02-10

在英文的數學教材中, 常常出現一些在數學書寫(mathematical writing)中有特殊含義的用法, 本文意在對這些辭彙作出一些簡單解釋說明並給出一些例子.

to identify

"To identify two mathematical objects"意味著"認為兩個數學元素是相同的", 這一用法來源於"identify A with B".

例1

We consider the geometry of the plane, $mathbb{R}^2={, (x,y) ,|, x,y in mathbb{R} ,}$ and of three-dimensional space $mathbb{R}^3={, (x,y,z) ,|, x,y,z in mathbb{R} ,}$ , we regard $mathbb{R}^2$ as a subset of $mathbb{R}^3$ , by identifying each point $(x,y)$ of the plane with the point $(x,y,0)$ of 3-space. We thus identify $mathbb{R}^2$ with the $(x,y)$ -plane ${, (x,y,z) ,| , z=0 ,}$ in $mathbb{R}^3$ .

例2

We consider the unit circle, which is parametrized by radian measure, is sometimes described as "the interval $[0,2pi]$ with the two ends $0$ and $2pi$ identified".

例3

Let $(G,cdot,1)$ be a group, $H leq G$ , $S={aH}_{a in G}$ be the set of cosets of $H$ in $G$ , $egin{align}varphi colon G imes {aH}_{a in G} & o {aH}_{a in G}\g(aH) &mapsto gaHend{align}$ is the group action. If the subgroup $H={1}$ , and we identify the element $g$ with the set ${g}$ , then the action by left multiplication of $G$ on left cosets of the identity subgroup ${1}$ (i.e., $varphi$ ) is the same as the action by left multiplication of $G$ on itself (i.e. left regular action).

unique

"The unique element having a property $P$ "是指有性質 $P$ 的唯一 (only) 元素.

例

$2$ is the unique real number $x$ such that $x^3 = 8$ , so that equation has a unique solution in $mathbb{R}$ .

up to ...

直觀上, "up to" 的作用是對一個完整的陳述作一些修改, 使其允許一些"誤差"的存在, 這裡的"誤差"內容即為"up to"後面的內容. 表述" $P(x)$ up to $S$ "通常可以理解為"在不考慮 $S$ 的情況下 $P(x)$ 成立".

例1

If $a in mathbb{R}^+$ , then the equation $x^2=a$ has a real-number solution which is unique up to sign. (If $x_1,x_2$ are both solutions to the equation, then we can assert $x_1=pm x_2$ ).

例2

If $f(x)$ is a continuous function on the real line, then there is a function $g$ whose derivative is $f$ , then $g$ is unique up to an additive constant.

例3

The cycle decomposition of each permutation is the unique way of expressing a permutation as a product of disjoint cycles up to rearranging its cycles and cyclically permuting the numbers within each cycle.

例4

A triangle is determined up to congruence "by side-angle-side", i.e., by the lengths of two sides and the value of the angle between them.

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by choice of ...

"by choice of"通常是一個提醒讀者回顧先前的假定的標誌.

例1

先作假定: "假定多項式 $f(x)$ 有正根 $r$ ". 在後文中出現命題 $P$ , 並且有" $P$ is true by choice of $r$ ". 這意味著, $P$ 成立可能因為" $r$ 是多項式 $f(x)$ 的根", 也可能因為" $r$ 是正數", 也可能因為" $r$ 是多項式 $f(x)$ 的正根". 也就是說導致出現"by choice of"的可能原因很多, 需要讀者思考.

例2

Lemma 1

Let $X$ be a set. There exists an ordinal $alpha$ which cannot be put in bijective correspondence with any subset of $X$ .
Theorem 1
Assuming the axioms of Zermelo–Fraenkel set theory (but not the Axiom of Choice), the following statements are equivalent:
(i) The Well-ordering Principle: Every set can be well-ordered. (Equivalently: every set can be put in bijective correspondence with an ordinal.)

(ii) Comparability of Cardinalities: Given any two sets $X$ and $Y$ , one of these sets can be put in bijective correspondence with a subset of the other. (Loosely: the class of cardinalities is totally ordered.)
Proof of Theorem 1
(ii) $Rightarrow$ (i)
Assuming (ii), let $X$ be any set and $alpha$ an ordinal with the property stated in Lemma 1. By (ii), there is either a bijection between $X$ and a subset of $alpha$ , or between $alpha$ and a subset of $X$ . By choice of $alpha$ , the latter case cannot occur, so there is a bijection between $X$ and a subset $S subseteq alpha$ . Since $alpha$ is well-ordered, so is every subset, and the well-ordering of $S$ induces a well-ordering of $X$ , proving (i).

(例2中對 $alpha$ 的假定是通過前文中的引理表述的.)

without loss of generality

"without loss of generality"常常翻譯為"不失一般性地", "不妨"等, 部分書中簡記為"w.l.o.g". 在數學證明中, 我們說"without loss of generality"時, 通常假定了某種條件 $X$ 成立. 如果我們能從 $X$ 成立得到結果, 然後 $X$ 很容易推廣到整個條件, 就證明了整個命題. 注意, "能夠將 $X$ 推廣到整個條件"是我們假設的前提, 如果不能推廣, 就不能這麼假設.

例1 (利用證明結構的對稱性)

我們能不失一般性地直接證明" $x>y$ "的情況, 然後說明類似可以推證" $x<y$ "的情況. 這裡的假設條件 $X$ 就是" $x>y$ ", 而由於兩種情況具有相同的證明結構, 這種推廣的過程通常被認為是顯然的 (平凡的), 所以省略了.

例2

在證明閉區間 $[a,b]$ 上的函數 $f$ 的某一性質時, 我們能夠不失一般性地令 $[a,b]=[0,1]$ , 並且證明 $f$ 的該性質在 $[0,1]$ 上成立, 再說明可以推廣到閉區間 $[a,b]$ . 這裡的假設條件 $X$ 就是" $[a,b]=[0,1]$ ". 我們令 $g(x)=f(a+(b-a)x)$ , 若 $g$ 在 $[0,1]$ 上的性質和 $f$ 在 $[a,b]$ 上的性質相一致, 我們就能將 $g$ 在 $[0,1]$ 上的性質推廣到 $f$ 在 $[a,b]$ 上的性質, 這樣才能夠利用"不失一般性地".

注意, 從 $X$ 推廣的過程的平凡程度是相對的, 可能對於讀者是很不平凡的, 但對於作者就是平凡的. 有時候, 作者會明確指出為什麼能夠推廣.

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數學證明中，「一般地」、「不失一般性」是什麼意思，什麼時候使用？

經常出現在數學證明中的「不妨設」根據是什麼？如何培養這種「不妨設」，「假設」的能力？

well-defined

"well-defined"通常翻譯為"良定義的". 若一個已經定義了的實體確實能夠被定義決定, 而不隨著定義中隱含的選擇變化, 則稱為良定義的.

例1

設 $sim$ 是集合 $X$ 上的等價關係, $E$ 是 $X$ 中滿足性質 $P$ 的等價類. 對任意 $x,y in E$ , 若 $P(x)$ 成立蘊涵 $P(y)$ 成立, 則稱性質 $P$ 為良定義的.

例2

設 $sim$ 是集合 $X$ 上的等價關係, $f colon X o Y$ . 對任意 $a,b in X$ , 若 $a sim b$ , 有 $f(a)=f(b)$ , 則稱映射 $f$ 為良定義的. 換言之, 若映射的像與等價類代表元 $a,b$ 的選取無關, 則稱為良定義的.

例3

設 $(S,star)$ 是代數系統, $star$ 是二元運算, $sim$ 是集合 $S$ 上的等價關係, $S/ sim$ 是商集. 在商集上定義運算 $[star]$ 滿足對任意 $a,b in S$ , 都有 $[a] [star] [b]=[a star b]$ . 若對任意滿足 $a sim c$ 的 $c in S$ 和滿足 $b sim d$ 的 $d in S$ , 都有 $[a star b]=[c star d]$ , 則稱運算 $[star]$ 為良定義的. 換言之, 若運算結果與等價類代表元 $a,b$ 的選取無關, 則稱為良定義的.

例4

設 $(G,cdot)$ 為群, $H leq G$ , $a,b,a^{prime},b^{prime} in G$ . 若對任意 $a,a^{prime} in aH$ 和 $b,b^{prime} in bH$ , 都有 $(ab)H=(a^{prime}b^{prime})H$ , 則稱左陪集乘法是良定義的. 換言之, 若左陪集乘積與左陪集代表元的選取無關, 則稱為良定義的.

例5

設 $(G,cdot)$ 為群, $N unlhd G$ , $N$ 是 $G/N$ 上的等價關係, 群同態 $varphi colon G/N o H$ . 若對任意滿足 $aN=bN$ 的 $a,b in G$ , 有 $varphi(aN)=varphi(bN)$ , 則稱同態 $varphi$ 為良定義的. 換言之, 若同態的像與陪集代表元 $a,b$ 的選取無關, 則稱為良定義的.

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