一道知乎看來的奧數題

02-10

圖見正文，題目如下：

三角形 ABC，角平分線 AD 分角 A 交 BC 於 D，O1，O2 和 O 分別是三角形 ABD，三角形 ACD 和三角形 ABC 的外心，求證 OO1 等於 OO2

知乎上給的答案添加了N條輔助線於是成了圖中的樣子，解法也比較複雜，詳細的可以去看知乎帖子"裝逼成功是怎樣一種體驗？" 裡面熊小陶的回答。

然而這道題目在我看來，解法可以非常簡潔，思路也可以更為清晰，所以值得今天在這裡和大家分享一下。

首先這道題實際是要證明OO1和OO2 等腰，那麼我們看一下收集到的信息中間最重要的是什麼呢？應該是角平分線，因為如果AD不等分頂角的話，O1和O2的位置會變化，OO1O2三角形的兩個底角也會變化。所以這道題一定可以歸約成角OO1O2和一個頂角的關係，以及角OO2O1和另一個頂角的關係，然後由於兩個頂角對等，於是OO1O2是等腰的。

那麼由此來倒推證明方法的時候，複雜的輔助線和某某四點共圓之類的手法都不需要了，只需要這麼做：

由於三角形ABD和ACD的外圓共弦AD，所以O1O2和AD垂直。同理OO1和AB，OO2和AC也垂直。

於是角BAD和角OO1O2是一樣的（O1O2和AB形成的夾角里的兩個相等對頂角分別和BAD以及OO1O2互余）。

同理角OO2O1和角CAD也是一樣的。

所以三角形OO1O2是等腰的。

看，是不是很簡單？這是利用了已知答案正確的情況下尋找關聯線索快速獲得解題方法的小技巧。

在實際運用中，通過已知結果或假設的結果來倒推線索和解的關聯性，往往可以取得不錯的效果，並大大地降低推理的難度。