"泛函分析"教材該選哪個？

泛函分析是一個研究pde好用的工具，好用到Evans的教材開頭有這樣一句話：

PDE theory is not a branch of functional analysis

偏微分方程理論不是泛函分析的一個分支

泛函的優點在於它為你處理很多問題提供一個公共的框架，比如「連續性方法」這種萬金油，缺點是它提供的只是框架。能不能把細節填出來（各種先驗估計）就是你的問題了，這些細節往往會涉及很硬的分析。這也是很多人調侃說丘成桐證明卡拉比猜想只是做了一道很難的分析習題的原因，當然我是不敢這樣說的，下面是@DTSIo Shao關於這個問題精彩回答。

https://www.zhihu.com/question/24239308/answer/31278094

由於其重要性，泛函現在已經是本科高年級，研究生低年級必開的課。我現在介紹幾個我看過的教材，列出其優缺點，希望有助於大家的學習。我會附上度盤鏈接，使得同學們能夠下載電子版。讓我們開始吧！Let us party！

既然要評價，自然要有客（zhu）觀（guan）標準，我覺得下面幾個點很重要。

應用度：泛函分析是有用的！這是一個必須讓初學的人樹立的觀念，也是好的泛函分析教材的一大要求，為什麼呢？因為泛函分析就其結果和術語來說非常抽象，這導致了很多人學習上的惰性。如果一個教材包含足夠多的應用例子，不但可以激發學生的學習積極性，也能直接解釋其理論的來源。你就能明白為什麼數學家會使用和研究某個概念。就歷史來看，泛函都是一些套路的總結。所謂：真情留不住，套路永流傳。

可讀性：泛函分析包含線性和非線性兩部分。很多人提到的泛函分析是默認線性的，雖然我是認為兩者是一個分類。線性泛函分析有一王一後：baire 綱定理和Hahn-Banach定理，和四大天王：open mapping, Banach-Steinhaus, closed range, closed graph, Mazur （你問為什麼有五個，四天王有五個不是常理嗎？）。

評價一個泛函分析教材的一個重要標準是看它是否能把它們的內在關係說明清楚，這就是清晰度和可讀性。還有後續其他定理的安排。

全面度：說真的，泛函分析的內容非常豐富，線性泛函分析除了上面公共基礎的部分外後面衍生出的東西就很多了，包含閉運算元的譜分析，對稱運算元的自伴延，運算元半群理論，線性單調運算元，運算元代數。非線性泛函分析的更是包含了不動點理論，非線性單調運算元，變分法，最優化等等。這個菜名可以一直報下去。隨便一個部分拉開了講都是一本（部）書的節奏。所以現實的講，雖然大部分泛函分析的教材都300頁起跳（我推薦的基本500頁起跳），但是基本都是不全面的，各有側重點。

習題：習題的重要性不言而喻，好的習題可以幫助自學的人增進對某個概念的理解，甚至習題本身就是一個定理。

I: Ciarlet 的「Linear and Nonlinear Functional Analysis with Applications」

應用度：5星，我見過的教材中應用之豐富的執牛耳者。什麼都有！真的是什麼都有，不過這也導致了這本書直接到了800頁。

可讀性：5星，大學3年紀以上看應該都沒問題。寫得清楚明白，證明過程非常清晰，幾乎少有省略。雖然因此總長達到800頁。當然了，估計本科生學完第一部分（線性泛函分析）就可以了。

全面度：4.5 星，很奇怪的。這本書對於很重要的無界閉運算元譜理論介紹的很少很少。處理很多pde問題，它都是從非線性泛函分析（變分法，單調運算元，不動點理論）的角度來處理的。還有，由於這位作者自己做過微分幾何，他於是在裡面硬塞了一章這方面的內容，也是夠拼的。

習題：5 星， 401個習題，多到嚇死我了。而且質量甚高。

綜合評價：5星。推薦給大部分本科生和研究生初年，開始學習泛函分析的同學。

（我上過這位教授的開的泛函分析課程，估計在香港的博士生都去又一城大學上過他的課，他自己寫的這本書確實不錯。好到我最後買了正版讓他幫我簽名的程度。 ）

ii H. Brezis: "Functional Analysis, Sobolev spaces and PDEs"

綜合評價：5星。推薦給大部分本科生和研究生第一年那些sobolev空間都不清楚的人，你順帶還可以學一些sobolev空間和簡單的pde。（值得一提的是以上兩位作者都是法國人，他們都和lions大神有點關係）

應用度：4星，沒有上面那麼豐富的應用，這本書其實只包含了線形泛函分析和一些基本的變分法。

可讀性：（這書貌似有中文版）5星+1星。除了清晰的邏輯外，我額外給1星是因為它與時俱進，它處理問題的方法很現代也很新鮮。包括證明L^p的對偶空間，它使用的方法也比較少見。會特別講一點凸分析的基礎內容。而且裡面自帶Sobolev space。這一點對初學者非常友好。而且裡面的材料選的也好，一些在現在比較實用的工具都做了初步的介紹。

全面度：3.5星，這不奇怪，這本書只有600頁，花時間講了很多基礎的東西，所以也講不了太多其他東西 (無界運算元之類的)。值得一提的是，這本書講了運算元半群理論和此理論在拋物型方程，雙曲方程上的應用。換句話來說，它把三個最基本的方程都處理了一遍。

習題：5 星+1星，不但有習題，還有答案。不要太好。

Zeilder: "Applied Functional analysis"I&II

綜合評價：5星。這是寫書狂魔，人肉名言字典，E. Zeilder的大作。此君寫過一部5大卷《nonlinear functional analysis and its applications》,每一本都基本超過500頁。他可能覺得這套書太長了，讓人受不了，於是他好心的寫了一套簡略的書（總共900），沒錯，就是你看到的上面一套兩部書。大師，你怎麼這麼有時間？最大的特點在於他寫書的角度，大部分數學家寫書都有一個傾向，傾向於系統性論述知識。此大神基本以物理為準繩，以應用為導向。量子物理，彈性力學，流體力學的方程統統搞一發。讓你感覺好棒棒的，以後吹逼起來非常容易。

應用度：5星，理由說了。他的應用都是實打實的，解釋了很多物理背景。

可讀性：需要的基礎也很少，學過實分析就可以看了。寫得還是非常易懂的，還有，這個人喜歡寫名人名言，每個章節開頭必需來兩個。還有，他是一個話癆，經常講一些數學歷史，他寫五大卷我一般當（歷史+物理）看。

全面度：4.5星，比較全面。基本包括了線性，非線性泛函分析的基本idea。

習題：4星。還不錯，難一點的題目都有提示。

K. Yosida: "Functional Analysis"

綜合評價： 這本書算是比較進階的，前面的書基本可以歸類為教材。這個書不是，這個書是大家寫論文的時候放心引用的一本書。所以，不推薦給初學者，再看它之前最好學過一些泛函分析，推薦給希望進一步學習線形泛函分析理論的人。它上來就討論（無界）閉運算元（我記得70頁左右吧），而不是一般的泛函分析那樣喜歡從有界運算元開始。當然了，從做研究的角度來看，閉運算元理論更廣泛，更有用。因為微分運算元基本可以看成閉運算元（空間選得好的話）。

應用度：4星，例子不少，但是基本也就是涵蓋了了三類基本方程。

可讀性：3星，不知道原版是用什麼語言寫成的，反正英語版讀起來不是很舒服。證明過程有不少省略。

全面度：4.5星，幾乎線性泛函分析的主流基本重要定理。

習題：0星。沒有習題。 呵呵呵呵

Rudin: "Functional Analysis"

綜合評價：逼格最高的一本，非常高冷，什麼Banch space，Hilbert space都太trivial。它上來就是拓撲向量空間，一堆你基本在論文上都不太容易看到的術語。其實一般來說，做PDEs最常用就是banach空間，希爾伯特空間。最差用到度量空間就差不多了。很少需要退到拓撲向量空間。不推薦給初學者，不推薦給初學者，不推薦給初學者。其實rudin另外一本書裡面反而提到了一些簡單的泛函分析。

應用度： 3星。 裡面的應用做到pde上的不多，反而是應用到一些其他數學問題。

可讀性：3星。由於內容非常抽象，要提起精神看完比較難。

全面度：4.5星。這和yosida的倒是一樣，幾乎涵蓋線性泛函分析的主流基本重要定理，但是很多都是寫成最抽象形式。

習題：4星。保持了rudin的一貫高水平，但是沒有答案，沒有答案，沒有答案！

最後附上度娘鏈接，裡面包含了我推薦的上面全部五本書的pdf。大家看著辦吧。

https://pan.baidu.com/s/1slUzZdV

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