曾經滄海難為水：博士求學記

02-10

12月一日香港中文大學舉行博士畢業典禮，這個時間點拿畢業證很奇怪，但是香港中文大學就是這樣，應屆生就是在這個時間點拿證。我也剛剛得到德國洪堡基金的通知，將獲得他們的資助去往德國讀博士後。我突然想寫點什麼，驀然回首，我已經在這條路上走了快十年。是時候給自己，也給我的朋友寫點什麼了。

本文由三個部分構成，第一部分是FAQ,就是一些知乎er可能感興趣的問題，我用問答的形式給出（如果反應不錯我會時時更新, 大家可以把感興趣的問題在回復裡面提出來，我會根據能力回答並更新）。第二部分算是我個人從本科到博士的求學經歷（血淚史？）。第三部分是些做數學研究的經驗教訓和方法推薦（都是心靈毒藥，大家小心點看吧）。大家可以更根據自己的興趣挑著看。

溫馨提示：以下是一個長文，有圖，有乾貨，有私貨，流量黨小心(知乎好討厭，我發布之後發現有些內容沒有更新，是我之前的版本，只能再編輯，今晚再檢查一下)。

Part I FAQ: 草木本有心，何求美人折：

問：香港中文大學和「中文」有什麼關係？數學系怎麼樣？

答：我真不知道，上課也是用英語，寫論文也是用英語，答辯也是用英語。我每次和那些喜歡望文生義的人聊，必須解釋為什麼我在一個「中文大學」學數學。內心的表情是這樣的：

中大數學系是還是不錯的，2015的世界排名（數學排名）是這樣的：

但是，其實到了博士階段我覺得學校不太重要，其實導師和個人的努力更重要，當然了歷史進程也是很關鍵的(+1s)。

問：學數學的人和普通人有什麼區別？是不是需要特別聰明才能學數學？

答：不覺得和普通人有什麼區別。有喜歡運動的，也有喜歡不動的；有喜歡讀阿西莫夫的，也有喜歡讀契科夫的。我依然記得在考實分析的時候，教授閑著無聊，默默地在黑板上寫了兩首詩（記不清了，貌似是元稹的）。是的，他也喜歡中國古典文學。我的答辯委員會裡面有一位教授在我答辯開場時候，他非常愜意的拿出ipad pro和ipad pencil做記錄。是的，他手上戴著apple watch。蘋果基本統治了本校的數學系，還有個教授他辦公室里imac，mac pro（沒錯，就是那個垃圾桶）。後來，我也歸入了蘋果邪教。至於聰明這個問題就很難回答了，我反正被碾壓過，但是按照陶哲軒的說法，個人的努力更重要。因為寫paper很多時候是個體力活和耐力活。對心智有全方面的考驗。就我個人來說，我碩士加博士6年發了10多篇sci文章，其中4篇所在的雜誌比較好，屬於單方向上比較top的，就數學這個方向來說成果還是不錯的。我自己不覺得自己哪裡比普通人聰明了。

問：為什麼你學了數學？

答：小時候老師估計都問過長大了要幹什麼，選科學家挺多的。雖然大部分人成年人都不明白科學家到底是幹什麼的。我自己當時喜歡看書，就想著以後當學者。我的家風很松，我老爸老媽對我未來的規劃就是：你餓不死就行，想幹嘛就幹嘛。不餓死是什麼鬼？

於是，到了本科的時候我就選了自己的喜歡的學科，是的，是物理。後面我發現自己更喜歡數學，於是大二轉了數學系。沒錯，咱家就是這樣隨便（其實中間自己也做了很多調查）。

真正讓我打算踏上科研這條路的是碩士期間我做了點小小的貢獻。於是覺得祖師爺肯賞我碗飯吃，就在這條路上繼續走下去了。

問：英語對學數學來說很重要嗎？

答：非常重要，反正我被自己的導師吐槽過英語差很多次了。還是挺重要的，不管寫論文還是看教材，最好最新的東西基本都是那英文寫成的。而且需要和訪問學者談笑風生，自然口語也不能太差。建議從大三開始就讀一些英文教材，反正也不難。又不是要看莎士比亞。論文寫作非常複雜，我推薦一本很關於數學寫作的書《a primer of mathematical writing》，這是我讀過關於數學寫作最好的一本書。

問：學數學為什麼需要點愛（努力）呢？

答：借用陶哲軒的一句話來回答：

Relying on intelligence alone to pull things off at the last minute may work for a while, but, generally speaking, at the graduate level or higher it doesn』t.----陶哲軒
（無責任翻譯）單靠聰明，在最後的時間臨時抱佛腳這種事情也許一時可行，但是到了研究生水平或者更高就不行了。

為什麼呢？因為到了這個階段，面對新的問題，你需要閱讀大量的文獻，寫很多review和note（關於這個我會在part iii提到）。不管你多天縱英才，也是需要很多時間的，所以才需要愛和努力。很難想像一個人每天能花大量時間打量精力，身心投入地去做自己不認同的事情。

但是即使喜歡數學的人，也大概不喜歡一遍遍修改自己的論文，那個工作基本不會有人喜歡，這個時候，你需要一個思維方式：我要做xx,因為我想要xxx。我要讓community知道我的工作，所以我要修改到好看。我要讓看這個文章的人很好的把握我的思路，所以我要好好布局。

問：中學，大學和研究生學習的區別在哪裡？

答：從評價體系來說，中學甚至大學都還是主要依賴考試，但是研究生之後主要看你的工作（paper）。這兩者區別是很大。考試有滿分，可惜不是不是所有滿分都是平等的，對很多人來說他考滿分是因為這個試卷最高分就是滿分而已。那麼他／她只需要付出能考出滿分（最高等級）的努力就可以了。而研究生是搞大新聞的時間，paper的差距是可以非常非常大的。這幾乎就是一個無底洞，因為你不知道你的巔峰在哪裡？

這就需要不同的思維方式了，這其中的差別在下面的回答中給出了一定程度的回答。https://www.zhihu.com/question/48817661/answer/114107803

我會在最後一部分給出自己的一些研究經歷。

問：老司機，老司機，資源在哪裡？怎麼發車

答：google scholar是個不錯的引擎，當然了，你不放心可以直接進各個資料庫查詢。

math flow 和 stack 是學術討論的好地方，很多你不懂的技術問題都可以在這裡討論，上面有不少大牛會回答你的問題，包括那些你讀的書的作者直接跳出來回答你。這個感覺真爽！

http://gen.lib.rus.ec/ 是一個下載書籍的好地方，不過大陸貌似有點問題。是的，你搞不好需要翻牆軟體。

問：數學系本科生應該如何學習，做題的目的是為了什麼？

答：這是由@Salted 提出來的問題。首先，應該早點讀英文數學類書籍。具體的，你可以上mathstack問問。但是，最最最重要的是努力：具體一點吧，你要保證自己每天花6-8個小時在數學上，而且一日不可中斷（節假日雙休日都不行）,一日不可中斷（節假日雙休日都不行),一日不可中斷（節假日雙休日都不行)。

如何分配呢？而且其中至少有三個小時（看個人情況定）是集中思考的時間，就是用你的知識去解決一個難題，這個難題不一定需要是什麼超級難題，是你學習的科目中比較難的課後習題也行，目的在於培養你對難題的耐受度，和思考複雜問題的能力，真正的學術研究是馬拉松一樣的長跑，而不是百米衝刺，不練習耐力不行。至少1-2個小時用來總結和展望。自己做好知識的梳理，構造自己的體系，最好的方法就是寫筆記（我推薦電子筆記，latex筆記），不僅僅是對一本書的理解，而是很多不同書對於一個「知識」的論述。我在下面的回答中給出了一些具體的意見：數學系大二如何彌補大一的差基礎？ - dhchen 的回答 - 知乎

題目有三種：1.這種題目在於幫助你理解某一個定理，定義。這種題目比較簡單，不需要多做。2.在於靈活的運用和理解多個定理，定義和結果。這個題目比較難但是有確定性的結果，它往往涉及到一個科目裡面的不同知識和定理，非常綜合。很有難度，建議多做。3.開放性問題，需要你自己創造性的改變現有定理，引入新的定義來解決。這個可以由自問自答來完成，自己問自己一個開放性的問題（你不知道也不確定結論），然後自己去解決。這個在本科階段不要玩得太過火。

問：作為新人，我如何選定自己的研究課題？

答：咸吃蘿蔔淡操心，這是你導師欽點的，雖然一般他會象徵性的問你想做什麼，如果你說得很不靠譜，他會指出來，然後拿出他希望你做的問題。而且我也推薦你做你導師給你的題目，除非你自己已經非常厲害了。導師的責任就是給學生一個合適的題目和指導，如果你覺得他給的題目太簡單了，那麼就在一個月內解決掉它，導師自然會給你第二個，而不需要當面爭執。如果導師給的題目我不喜歡怎麼辦？那麼就把這個當成人生的試煉好了，去喜歡上它，發覺它的優點。當然了，如果你確實對某個你導師了解問題有了很多前期的準備，你自然可以大大方方地去和他討論，讓他來評價你的理解是否到位，你的能力是否足夠處理你想解決的問題。

Part II: 經歷篇---此情可待成追憶，只是當時已惘然。

昨夜西風凋碧樹。獨上高樓,望盡天涯路（stage 1 本科）：

大學雖然是四年，但是我學數學卻是三年，因為我第二年才轉入數學系，第一年我在物理系。外人看這事很奇怪，其實從我現在看去，那個時候的自己是有點naive，轉的願意就是「喜歡」。進入大學後，大一我就開始自己看很多數學專業的書，平衡過自己能否適應真正的數學學習我才選擇進入數學系學習。我開始學習各種嚴格的數學語言，學會去掌握它們。數學分析，複分析，常微分放出，偏微分方程，實分析，複分析，微分幾何。那個時候，最讓我頭疼的是偏微分方程，因為我常常需要面對這種

相信我，那個時候我也不喜歡pde，那個時候它在我心裡是這樣的：

但是沒想到最後這個火熱的小妖精還是讓我如痴如狂，而且要綁我一輩子。當時，我最愛的一門是（線性）泛函分析（後面的導師要求我必須獲得它的愛），此女神冰山無比，學過的都知道，我早起貪黑，做各種課後習題，終於基本獲得女神大人的微笑（掌握了些基礎泛函分析的定理和理念,理念更加重要）：

衣帶漸寬終不悔，為伊消得人憔悴。 （stage2 碩士）:

由於是保送本校，大四開始我就開始跟著預定的導師做研究，打latex，寫paper，被導師罵。還是非常exciting的，畢竟做研究和單純的學習的差別是很大，具體的建議我會在後面具體地講。然後繆斯女神對我不薄，允許我做了點小小的貢獻，有一篇發到"Journal of differential equaitons"（《微分方程》，一個不錯的雜誌）。當然文章真正出版已經是一年後的事情了。我的導師當時問我想不想提前畢業，早點進入下個階段（讀博）。我覺得自己內功不足，想要繼續學習就放棄了。那個時候我的方向就是pde，這裡就不得不提pde和泛函分析的（百合）關係了，

不同的field裡面就是誰是研究方法誰是研究對象的問題。我在那個階段主要是用泛函分析的方法處理某些抽象的pde，現在是兩者並重，或者是先有作為目標的具體pde問題，然後發展一系列的泛函方法和各種pde技巧（各種估計方法）來解決它。我最崇拜的數學家除了希爾伯特外就是大Lions：

作為pde的大師，他為pde提供一條龍的研究，從最抽象的存在性定理，物理解釋，到逼近計算，數值誤差估計，甚至最後的計算機模擬。（說點八卦的事情，他的兒子是個得到菲爾茲獎的數學家（小lions），他兒子的導師的導師就是大lions。）

眾里尋他千百度，驀然回首，那人卻在，燈火闌珊處（Stage 3 博士）

在碩士後我進入香港中文大學進行博士的學習，必須說我是換了方向的，所以很多東西必須砍了重練，我在碩士階段是抽象先行的，那個階段我最好的結果發在「journal of functional analysis」（《泛函分析》）上，從這一點就可以看出來，從方法論到對象上，那個階段我都是在抽象空間上處理問題。雖然這個問題最後會應用到具體問題，但是很多是for the sake of math (為了數學本身)。在博士階段我必須以具體問題為導向，這就要求我學習很多應用數學的理念和工具。過程還是很痛苦的，不是學習本身，而是那種離開戰鬥前線的老兵感覺，很想回去戰鬥，而不是休整。也沒有過去那種面對前方篤定的眼神。做研究也遇到了瓶頸，這個階段我採用了自己高三的方法，給自己規定了每天必須滿足的工作時間，效果不錯，研究變得順利了，甚至感覺運氣都變好了。

工作是人生最尊貴、最重要、最有價值的行為-- 稻盛和夫

Part III: 方法篇--兩句三年得，一吟雙淚流。

下面很多的方法都不是什麼獨創，都是很多大數學家推薦的研究方法。我匯總一下，寫在下面。

0. 研究經歷的啟示--

研究基本是沒有固定方法的，更談不上有什麼竅門了。我只是把自己的經歷還有各位大牛blog的經驗總結一下，匯總如下。

a. 真實的數學研究是什麼樣？

下面是來自 Krantz 的話：

There is no art to this business. Ideally, you set yourself a problem: slovingBurnside problem, calculate the dual space of the Hardy space, prove the corona theorem in serveral variables and fix it. However, this is not usually what really happen in the real world. In practice, this point-and-shoot technique is rarly the way that mathematics is successfully practiced. A modest way to get one』s feet wet is this: become completely immersed in a subject, and then formulate a program. Determine to assume hypothesis A, B, C and endeavour to prove conclusion X. However, in fact what happened in practice isthat we try a great many things, and the hypothesis are altered with the final result to be something you couldn』t expect.
這一行沒有什麼訣竅，理想地來說，你給自己找一個"小小的目標"：證明xxx猜想，搞定xx大定理，然後把它解決（吐槽：的確，有少部分數學家可以達成這個理想）。可是，在現實世界，事情往往不是這樣的。這種點對點精確打擊的方法不是通常的成功的研究思路。
一個更實際的研究方法是這樣的：完全沉浸在一個問題裡面，設計一個研究計劃，找到恰當的假設a,b,c然後做出想要的結論x。但是，實際上真正的情況是這樣的，我們嘗試了很多方法，假設被該來改去，結果也無法和預期的一樣。

b. 一般的研究思路是什麼樣的？

第一階段，或者說預備階段：了解前沿，或者說現在最新的結果是什麼？處理這類問題最新的方法有那些，這個階段其實就是充實自己的工具箱（具體的學習方法如下）。這個階段還是比較舒服的。要盡量內化方法，而不是簡單的套模版（雖然很多簡單的問題的確可以套出來，但是這些東西其實也沒有出版的價值了）

第二階段，開始動手，你要坐下來開始計算，不停的算。你嘗試各種方法，變換它們，然後再試試。把你能想到的推測，猜想，嘗試寫滿一頁又一頁筆記，然後把他們全扔了，從新來過。在這段時間內，太陽依舊升起，你還與人討論，寫郵件，吃飯睡覺。不要太指望通宵幾天就能把問題作出了。你日復一日的工作，驀然回首，那人就在燈火闌珊處。

Tip 1:及時當勉勵，歲月不待人。

Fefferman(一個菲爾茲獎得主)說一個好的數學家會把自己工作的90%都扔掉，Krantz認為基本需要扔掉99%。真正有價值的東西都是在千百次失敗後才得到。在不斷嘗試的過程中，你往往需要返回到第一階段，學習新的東西，重新整理自己的idea。然後，你才能慢慢地有所進展，這些跬步會最後幫你達到千里之外。

Tip 2:天若有情天亦老，月如無恨月常圓。

雖然每天進步一點這些話在學生時代是可能的，但是做研究就沒有那麼快樂了，你不會每天都在進步，有時候你好像接近了你的目標，有的時候她又離你而去，你需要把昨天寫的全撕了,有時候你會被卡得死死的，搞不好別人還會投給你關懷的眼神（呵呵，智障）。不要讓這些東西摧毀你！這就是一個數學家的常態好不好，你的職業生涯往往就是這樣的。當然了，博士生期間還有導師幫你你一把。

Tip 3: 好事盡從難處得，少年無向易中輕

如果你好像算出點什麼了，馬上記下來。寫得清清楚楚，並且自己確定可以回溯。我自己一般是是onenote+surface的組合來做筆記，這樣不會丟失。不要覺得自己記性好，自己寫的東西哪裡會忘記？告訴你一個壞消息，你一定會忘記的。把這些小小的貢獻記錄下來，不但可以鼓勵自己，也確實是一些成果。Hormander和高斯都有做數學筆記的習慣。

Tip 4: 清水出芙蓉，天然去雕飾。

講了那麼多硫酸，來點有料的東西。研究數學要掌握好很多具體的例子，你越是學習數學，你越能理解一個具體的例子的價值。人類學習其實都是從特殊到一般的，而不是反過來。雖然數學追求一般化的，但是那是寫法而不是做法。發明和創造都是從一些很簡單的例子出發的，你先從一些簡單的計算開始，然後慢慢得到一些有意義的結果，這些結果再積累成猜想，然後被證明成定理。

Tip 5:汝果欲學詩，工夫在詩外。

查閱文獻可以幫你找對方向或者排除一些錯誤的方向，但是不要指望你可以找到一個lemma可以剛剛好解決你遇到的問題。你需要親自動手，全心投入。遇到麻煩的時候，找幾個基友給他們解釋你遇到了什麼困難，這個解釋的過程也會幫助你思考。重點在於你自己開始思考了，這一點足以慢慢推動你往前進。

每個人做研究的人都有自己的「工具箱」，它是解決一類問題某種方法和某種思路。陶哲軒說這叫「range」，在這個範圍內的問題，你是可以理解和大概知道如何處理，而不會看見這個問題一臉懵逼

如果你覺得某個工具對你現在或者未來的研究有幫助，那麼掌握它最好的方法就是寫notes（筆記），不是簡單的抄書，而是根據自己的理解把把這個這個工具的理解寫成一個書，包含完整的歷史脈絡，思想起源和現有的變種。這個方法不但對於學習新事物有用，也可以幫助你理解你以為自己以及理解的知識。你最好參考多種書和論文，把他們都串聯在一起，提取其共有的內核思維。具體的寫作工具自然是latex ex（一種數學物理的排版軟體），當然了如果你覺得做親筆筆記你更習慣那麼親筆寫成筆記也不無比。我更加推薦前者是因為前者更加容易保存，容易修改，不會丟失，也是學習英語寫作的一種方式。