14隻蝙蝠對射——爐石與概率的碰撞

02-10

下午在圖書館刷知乎，看到@周博文童鞋的文章[卡組分享] 主播卡組掃描#4的末尾碎碎念到：

如圖，己方使用蝙蝠攻擊對方蝙蝠，求場面全清的概率...

於是，對這個問題有了一些興趣，在紙上稍微分析了之後，計算出了自己的答案，在此給出全過程，歡迎大家指正。

首先，一些人可能沒有玩過爐石，對圖片的內容不是很了解，我稍微做一下解釋，圖中己方和對方擁有7隻蝙蝠，每隻蝙蝠屬性相同，均為1點生命值和2點攻擊值，且有帶有亡語（死亡時觸發）：對敵方一個隨機敵人單位造成1點傷害。其中，英雄即雷克薩也屬於隨機敵人。所以，當我方蝙蝠攻擊對方蝙蝠時，兩隻蝙蝠均死亡，他們的亡語會觸發，從而引發一系列的連鎖反應，而這道題求解的是場面全清即場面不存在任意一隻蝙蝠的概率。

下面開始數學分析：

前提：亡語造成的傷害必須是敵方隨機單位，即對任意單位造成傷害的概率相等。沒錯，說的就是你，打臉雜耍者。我們這裡默認，蝙蝠的隨機是真隨機，即對任意單位造成傷害的概率相等。

定義1，清場：場上沒有任何一隻蝙蝠。

推論1：己方和對方地位相等。

這個很好理解，當我方用蝙蝠攻擊對方蝙蝠與對方用蝙蝠攻擊我方蝙蝠沒有任何區別，且在亡語觸發的過程當中，一直處於對等地位。

推論2：任何一種情況，我方蝙蝠與對方蝙蝠的數量差都小於等於1。

因為除了前兩隻死亡的蝙蝠，其他的蝙蝠死亡原因均是被對方已死亡蝙蝠亡語擊中，所以也可以輕鬆得出這個推論。

推論3：亡語觸發次序即蝙蝠先下或者後下的次序並不影響概率結果。

在爐石的亡語機制中，先下到場上的隨從亡語會優先觸發，但我們在後面的討論中，會討論觸發亡語的次序而不是死亡次序，死亡次序並不一定是亡語觸發次序，所以我們定義一隻蝙蝠真正死亡是死亡且觸發亡語效果，由推論2結合以上分析得到推論3。

推論4：在清場之前即場上仍有蝙蝠，如果有兩隻蝙蝠的亡語擊中我方或敵方獵人雷克薩，則不會完成清場。

因為我方蝙蝠的死亡是由於對方亡語觸發的，對方蝙蝠的死亡是由於我方亡語觸發的，當有一隻蝙蝠擊中臉部時，剩下的火種，剩餘那隻觸發亡語的蝙蝠就不能再擊中臉部了，因為他的目標是繼續觸發其他蝙蝠亡語。如果再進一步理解，如果我方第一隻觸發亡語的蝙蝠擊中對方臉部，敵方第一隻觸發亡語的蝙蝠擊中我方臉部，那不好意思，不能清場。大家可以自行感悟。

綜上所述：清場的必要條件是：

（1）前面12隻蝙蝠的亡語均擊中對方蝙蝠且最後兩隻我方和敵方的蝙蝠擊中獵人雷克薩（也必須擊中，因為已經沒有目標）

或者

（2）前面13隻蝙蝠的亡語有且只有一隻我方（敵方）蝙蝠擊中對方英雄且最後一隻我方（敵方）蝙蝠擊中對方最後一隻蝙蝠。(經@陳卓提醒修改，原描述有誤)

（1）比較好理解，不再詳細敘述

（2）怎麼理解呢？如果我方蝙蝠擊中了敵方雷克薩，那麼這時候亡語的繼續觸發由對方引起，所以最後的情況一定是我方最後一隻蝙蝠亡語必須擊中對方的最後一隻蝙蝠：如果是對方蝙蝠擊中了我方雷克薩，同理，那麼這時候亡語的繼續觸發由我方引起，所以最後的情況一定是對方最後一隻蝙蝠亡語必須擊中我方的最後一隻蝙蝠。

現在開始計算概率：

（1）比較好計算，遞推即可。

$P_{1} =frac{6}{7} imes frac{6}{7} imes frac{5}{6} imes frac{5}{6} imesfrac{4}{5} imesfrac{4}{5} imes frac{3}{4} imesfrac{3}{4} imes frac{2}{3} imes frac{2}{3} imesfrac{1}{2} imesfrac{1}{2}=frac{1}{49}$

（2）需要分情況計算，關鍵點在於那隻打錯的蝙蝠，即擊中對方雷克薩的蝙蝠，而這隻蝙蝠可能是對方的，也可能是己方的，同時這隻蝙蝠的輪次，即是第幾隻死亡的蝙蝠也有很多種情況，分情況討論，在這裡我著重解釋一種情況，其他情況同理。

【1】我方第一隻觸發亡語的蝙蝠擊中對方雷克薩或者對方第一隻觸發亡語的蝙蝠擊中我方雷克薩

$P_{2} =2 imes frac{1}{7} imes frac{6}{7} imes frac{6}{7} imes frac{5}{6} imes frac{5}{6} imesfrac{4}{5} imesfrac{4}{5} imes frac{3}{4} imesfrac{3}{4} imes frac{2}{3} imes frac{2}{3} imesfrac{1}{2} imesfrac{1}{2}=frac{2}{343}$

解釋一下：2是因為擊中雷克薩的可能是我方也可能是對方的，其他的都相同，所以乘2，同時，一旦打中了雷克薩，其餘的蝙蝠均不能再次打中雷克薩，依次相乘。

【2】同理，我方第二隻觸發亡語的蝙蝠擊中對方雷克薩或者對方第二隻觸發亡語的蝙蝠擊中我方雷克薩

$P_{3} =2 imes frac{6}{7} imes frac{6}{7} imesfrac{1}{6} imesfrac{5}{6} imes frac{5}{6} imesfrac{4}{5} imesfrac{4}{5} imes frac{3}{4} imesfrac{3}{4} imes frac{2}{3} imes frac{2}{3} imesfrac{1}{2} imesfrac{1}{2}=frac{1}{147}$

【3】同理，我方第三隻觸發亡語的蝙蝠擊中對方雷克薩或者對方第三隻觸發亡語的蝙蝠擊中我方雷克薩

$P_{4}= 2 imes frac{6}{7} imes frac{6}{7} imesfrac{5}{6} imes frac{5}{6} imes frac{1}{5} imesfrac{4}{5} imesfrac{4}{5} imes frac{3}{4} imesfrac{3}{4} imes frac{2}{3} imes frac{2}{3} imesfrac{1}{2} imesfrac{1}{2}=frac{2}{245}$

【4】同理，我方第四隻觸發亡語的蝙蝠擊中對方雷克薩或者對方第四隻觸發亡語的蝙蝠擊中我方雷克薩

$P_{5}= 2 imes frac{6}{7} imes frac{6}{7} imesfrac{5}{6} imes frac{5}{6} imes frac{4}{5} imesfrac{4}{5} imesfrac{1}{4} imes frac{3}{4} imesfrac{3}{4} imes frac{2}{3} imes frac{2}{3} imesfrac{1}{2} imesfrac{1}{2}=frac{1}{98}$

【5】同理，我方第五隻觸發亡語的蝙蝠擊中對方雷克薩或者對方第五隻觸發亡語的蝙蝠擊中我方雷克薩

$P_{6} =2 imes frac{6}{7} imes frac{6}{7} imesfrac{5}{6} imes frac{5}{6} imes frac{4}{5} imesfrac{4}{5} imesfrac{3}{4} imes frac{3}{4} imesfrac{1}{3} imes frac{2}{3} imes frac{2}{3} imesfrac{1}{2} imesfrac{1}{2}=frac{2}{147}$

【6】同理，我方第六隻觸發亡語的蝙蝠擊中對方雷克薩或者對方第六隻觸發亡語的蝙蝠擊中我方雷克薩

$P_{7} =2 imes frac{6}{7} imes frac{6}{7} imesfrac{5}{6} imes frac{5}{6} imes frac{4}{5} imesfrac{4}{5} imesfrac{3}{4} imes frac{3}{4} imesfrac{2}{3} imes frac{2}{3} imes frac{1}{2} imesfrac{1}{2} imesfrac{1}{2}=frac{1}{49}$

而當前面的蝙蝠沒有擊中雷克薩時，最後的兩隻蝙蝠必定會互相擊中對方雷克薩，這種情況下與（1）相同。

所有的情況均已考慮，把上面互不相容的7個概率相加即為答案。

$P=P_{1}+ P_{2} +P_{3}+ P_{4}+ P_{5}+ P_{6}+ P_{7} =frac{293}{3430}$

這個概率大概是8.5%左右，算是一個比較低的概率。要知道，大螺絲帶球過7人完成射門的概率也足足有12.5% 。

熾炎蝙蝠：愚蠢的獵人們，想讓我們團滅，哼哼，沒那麼容易。

此題完結。請各位大神指導，可能有錯誤，歡迎指出。

另外，我本人在計算過程中發現了規律，把這題擴展一下，即，如果場上雙方各有n只蝙蝠（n $geq$ 2）（同時假設爐石場上可以不止7個隨從），那麼清場的概率是多少呢？（用n表示），即求n的通項公式。

如果有人感興趣，我會繼續更。如果你看到了這裡，感謝！

答主繼續進行著作死行為：傳送門：星界德天胡概率詳解——爐石與概率的碰撞（2）（未完待續篇）

歡迎大家圍觀~~~~~