【背景知識】維納過程和股票運動規律

02-10

在講了馬爾科夫過程之後，我們來說個有趣的東西——在上述理論下，股票的運動方式。

看這篇之前，你可能需要參考：【背景知識】馬爾科夫過程和伊藤引理 - Percy2.0的文章 - 知乎專欄

如果我們還沒忘記的話，我們說如果一個馬爾可夫過程中，增量的概率分布服從於一個關於時間t的正態分布，我們就說這個過程是維納過程，或者說布朗運動，表示成這個樣子：

$Delta xsim N(aDelta t, b^2 Delta t)$

一定要注意，維納過程本身也是伊藤過程的一個特殊形式，它是包含在伊藤過程這個概念裡面的——常值函數也是函數呀對不對，所以伊藤引理的所有性質，在維納過程上都是可以用的。

好，那麼我們現在做幾個定義：

S為股票的價格，dS表示股票的變化量（注意，並不是變化率）；
股票變化率 $frac {dS}{S}$ 是一個廣義維納過程： $frac {Delta S}{S} sim N(muDelta t , sigma^2Delta t)$

好了，那麼根據維納過程，我們可以寫出下面的這個式子：

$frac {dS}{S}=mu dt+sigma dz$

或者寫成微分方程的形式就是：

$dS=mu Sdt+ sigma Sdz$

其中， $mu S$ 是漂移率，而 $sigma$ 這裡我們給它一個新名字——波動率。而這個方程，就是我們經常說的一個運動——幾何布朗運動。

啊哈，是不是一下子感覺親切多了23333，畢竟波動率這貨總是見到嘛。而這個式子很有趣，是 $Delta t ightarrow 0$ 的時候的一個極限形式——也就是微分形式；它的變化量形式應該是下面這個：

$Delta S= mu S dt +sigma varepsilon Ssqrt {Delta t}$

這裡 $varepsilon$ 服從一個標準正態分布——注意，上下兩式中，一個是dz，一個是 $varepsilon sqrt {Delta t}$ ,這兩個是什麼關係呢？其實這兩個的關係是這樣的：

設z是一個嚴格的維納過程（服從N（0， $Delta t$ ）），則有 $Delta z=varepsilon sqrt {Delta t}$

所以在式 $dS=mu Sdt+ sigma Sdz$ 中，我們是把 $varepsilon sqrt {Delta t}$ 寫成了dz的形式。（我估計讀昨天的伊藤引理的時候你們都沒有發現我偷偷換了符號23333）

好，這個式子很有用，它描述了一個股票的基本變動形式——

股票未來價格的變動不受歷史的變化所制約，而只和當前價格有關；
股票的價格變動幅度符合廣義維納過程，也從而使得股票S的運動是幾何布朗運動；
股票波動的行為可以看成是漂移量加上一個嚴格意義上的布朗運動的波動量的形式；

根據上面這個，我們很容易知道為什麼波動率，或者說歷史波動率——也就是能夠算出來的那個——沒有用了：因為注意，布朗運動的獨立性導致前面的波動率對後面的波動率是相互獨立的。雖然說可能有的時候我們要做一個參考，但是並沒有什麼卵用——進一步地講，這也就是為什麼我們如此喜歡去求隱含波動率，或者說前瞻波動率的原因了。

說了這麼多，我們下面說幾何布朗運動下，結合對數收益率對方程進行變換。

這裡需要一點小知識——對數收益率；如果你不知道對數收益率的話，請參考：【背景知識】複利和連續複利率 - Percy2.0的文章 - 知乎專欄，其中，對數收益率就是連續複利率。這裡我們就不贅述了。

那麼根據伊藤引理和對數收益率呢，我們對 $frac {Delta S}{S}$ 做一些小小的變動：