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量子物理高等量子力學

如何將矩陣形式的緊束縛有效哈密頓寫成二次量子化的形式？

02-09

我現在需要用到一個軟體，它只允許輸入升降算符形式表示的哈密頓量；但是我們之前求得的有效哈密頓都是矩陣形式的，比如說這樣的：
$egin{pmatrix} H_{11} V_{12} V_{13} \ V_{21} H_{22}V_{23}\ V_{31} V_{32} H_{33}\ end{pmatrix}$
我沒怎麼學過高量，對二次量子化那一套完全不熟，有沒有什麼簡便的步驟或者 protocol 可以把矩陣形式的哈密頓迅速二次量子化呢？

謝邀......

既然是tight binding model，就是single-particle Hamiltonian了。假定你用的是一組正交基（比如平面波） ${phi_i(r)}$ ，那哈密頓量的二次量子化各項的係數應該就是相應的矩陣元：

$hat{H}=sum_{i,j} {left<phi_i|hat{h}|phi_j ight>a_i^dagger a_j}$

其中：

$hat{h}=-frac{1}{2} abla^2+V(r)$

如果二次量子化形式和矩陣形式用的不是同一組基函數的話（比如AO/MO），換成一樣的基（旋轉一下）就好了。

答完了，有點虛，是題主想得太複雜了還是我想得太簡單了啊？大家多多指教。

在二次量子化之前，哈密頓量是描述單粒子在勢場中運動的，在二次量子化之後就變成了多粒子，所以說一定會多出來一項粒子之間的相互作用項，這一項從你給的條件裡面是推不出來的。

如果你認為粒子之間沒有相互作用，那麼哈密頓量就簡單是每個粒子的哈密頓量的和，直接可以在哈密頓量的每個矩陣元後面加上a^+_m a_n應該就可以了。

矩陣形式到二次量子化其實很直接。就這個例子來說，如果 $H_{ij}$ 和 $V_{ij}$ 都是數，按行依次為 $a_i^dagger$ ，按列就是 $a_i$ ,係數就是對應的矩陣元。也就是說，上面這個3x3的矩陣可以寫成：

對角項 $H_{11} a_1^dagger a_1 + H_{22} a_2^dagger a_2 + H_{33} a_3^dagger a_3$

非對角項 $V_{12} a_1^dagger a_2 + V_{21} a_2^dagger a_1 + V_{13} a_1^dagger a_3 + V_{31} a_3^dagger a_1 + V_{23} a_2^dagger a_3 + V_{32} a_3^dagger a_2$

就這麼簡單。

同樣的，相信從二次量子化反推矩陣也so easy了吧

話說回來，這到底是什麼軟體？

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