L1、L2以及Lp函數的Fourier變換

02-09

$L^1(mathbb R)$ 函數的Fourier變換理論

Def. 若 $f(t) in L^1(mathbb R )$ ，則它的Fourier變換定義為 $egin{equation} mathscr{F}(f) (x):=hat{f} (x) =int_{mathbb{ R}} f(t) e^{-i 2pi cdot t cdot x } dt, forall x in mathbb{ R} . end{equation}$

由於 $| f(x) e^{-i 2pi cdot t cdot x } |_1 leq | f |_1$ ，故 $hat{f} (x)$ 有意義。

易得， $mathscr{F}$ 把 $L^1(mathbb R )$ 映射到 $C_0(mathbb R )subseteq L^{infty}(mathbb R)$ 。

Def. 若 $f(t) in L^1(mathbb R )$ ，定義 $check{f} (x) := int_{mathbb{ R}} f(t) e^{i 2pi cdot t cdot x } dt=hat{f}(-x), forall x in mathbb{ R} .$

自然要問，對於 $f(t) in L^1(mathbb R )$ ，是否有 $f(t)=int_{mathbb{ R}} hat{f} (x) e^{i 2pi cdot t cdot x } dx$ 成立？

在 $mathscr{F}$ 作用下，函數 $f in L^1(mathbb R )$ 對應到 $hat{f} in C_0(mathbb R )$ ，未必屬於 $L^1(mathbb R )$ ，所以未必能做 $mathscr{F}$ 。

所以要對函數 $hat{f} in C_0(mathbb R )$ 做一些限制，乘以一個衰減函數 $Phi_epsilon(x)$ ，使得 $int_{mathbb{ R}} hat{f} (x) e^{i 2pi cdot t cdot x } Phi_epsilon(x)dx$ 有意義。

Th. 設 $f, hat f in L^1(mathbb R )$ ，則 $f(t)=int_{mathbb{ R}} hat{f} (x) e^{i 2pi cdot t cdot x } dx, ext{a.e.} t in mathbb{ R}$ 。

$L^2(mathbb R)$ 函數的Fourier變換理論

對於 $f(t) in L^2(mathbb R )$ ，則 $mathscr{F}(f) (x)$ 未必存在。所以 $L^2(mathbb R )$ 函數的Fourier變換要藉助於 $L^1(mathbb R )$ 函數的Fourier變換表達式來定義。

首先介紹Fourier變換理論中一個重要的定理——Plancherel定理

Th. 設 $f(t) in L^2(mathbb R )cap L^1(mathbb R )$ ，則有 $hat{f} in L^2(mathbb R )$ ，並且 $|hat{f}|_2 = |f|_2$ 。

現在可以定義 $L^2(mathbb R)$ 函數的Fourier變換。

先定義 $f(t) in L^2(mathbb R )$ 的截斷函數列 $f_k(t)$ 。這裡 $f_k(t)= left{egin{array}{ll} f(t), ext{if} |t|leq k, k in mathbb N \ 0, ext{else} end{array} ight.$ ，顯然 $f_k(t) in L^1 cap L^2$ 。

容易證明， $f_k(t) xrightarrow[k ightarrow +infty]{ |ullet |_2} f(t)$ ，利用「Lebesgue積分的絕對連續性」。

定義L2函數的Fourier變換

所以， $fin L^2(mathbb R )$ 的Fourier變換定義為 $hat f$ ，如果滿足 $| hat f |_2=lim_{k ightarrow infty} | widehat {f_k}|_2$ ，這裡 $f_k(t) in L^2(mathbb R )cap L^1(mathbb R )$ 是 $f(t)$ 的截斷函數列。

又因為

$| hat f |_2xlongequal{def} lim_{k ightarrow infty} | widehat {f_k}|_2 xlongequal{ ext{Plancherel } ( L^1cap L^2)} lim_{k ightarrow infty} | f_k |_2 xlongequal{f_k ightarrow f (| ullet|_2)} | f |_2.$

最後一個「等號=」是因為 $0 leq | |f_k(x)|_2-| f(x) |_2 | leq | f_k(x)-f(x) |_2 ightarrow 0 (k ightarrow infty).$ 再利用「數列極限的迫斂性」（夾逼準則）即可。所以 $fin L^2(mathbb R )$ 也有相應的Plancherel定理.

以上揭示了一個重要事實，Fourier變換

$mathscr{F}: L^2(mathbb R ) ightarrow L^2(mathbb R )$

是等距保范、一一對應的線性運算元，即「酉運算元」。

和 $L^1(mathbb R )$ 情形類似， $L^2(mathbb R )$ 也可利用Fourier正變換來定義Fourier反演， $forall g in L^2(mathbb R ), mathscr{F}^{-1}(g)(x):=mathscr{F}(g) (-x)$ 。

$L^p(mathbb{R})(1leq p leq 2)$ 函數的Fourier變換理論

既然已經定義好了 $L^1(mathbb R ), L^2(mathbb R )$ 函數的Fourier變換，那麼 $L^p(mathbb{R})(1leq p leq 2)$ 函數的Fourier變換給如何定義呢？

這裡再一次利用常用技巧：若 $fin L^p(mathbb R )(1leq p leq 2)$ ，則 $f$ 可以分解為一個 $L^1(mathbb R )$ 和一個 $L^2(mathbb R )$ 函數相加的形式。

構造性證明：

假設 $f(x) in L^p(mathbb R )(1leq p leq 2)$ 。

令 $f_1(x):= left{egin{array}{ll} f(x), x in {x: |f(x)| leq 1 } \ 0, x in {x: |f(x)| > 1 } end{array} ight.$ , $f_2(x):= left{egin{array}{ll} 0, ext{if} |f(x)| leq 1 \ f(x), ext{if} |f(x)| > 1 end{array} ight.$ .

顯然 $f(x)=f_1(x)+f_2(x)$ .

那麼，

$egin{aligned} {| f_1 |_2}^2 xlongequal{ ext{Def }} & int_{ {x: |f(x)| leq 1}} |f(x)|^2 dx \=& int_{ |f(x)| leq 1} |f(x)|^pcdot |f(x)|^{2-p} dx , ( 2-p >0, |f(x)| leq 1 Rightarrow |f|^{2-p} leq 1 ) \ leq& int_{ |f(x)| leq 1} |f(x)|^p dx \ leq & {|f|_p}^p. end{aligned}$

同理可得：

$egin{aligned} {| f_2 |_1}^1 xlongequal{ ext{Def }} & int_{ {x: |f(x)| > 1}} |f(x)|^1 dx \=& int_{ |f(x)| > 1} |f(x)|^pcdot |f(x)|^{1-p} dx , ( 1-p <0, |f(x)| > 1 Rightarrow |f|^{1-p} leq 1 . ) \ leq& int_{ |f(x)| > 1} |f(x)|^p dx \ leq & {|f|_p}^p. end{aligned}$

所以， $f_1 in L^2(mathbb R), f_2 in L^1(mathbb R).$

所以， $f in L^p(mathbb R )(1leq p leq 2)$ 的Fourier變換可定義為： $hat{f}=hat{f_1}+hat{f_2}, ext{with} f_1 in L^2(mathbb R), f_2 in L^1(mathbb R).$

關於 $f in L^p(mathbb R )(1leq p leq 2)$ 的Fourier變換最重要的定理是Hausdorff-Young不等式，證明的方法就是用「Riesz-Thorin運算元範數內插」定理。

Hausdorff-Young不等式的證明

====================於2017年11月10========================

以一道計算題結束

證明 $mathscr{F}(e^{- pi cdot |ullet|^2})(xi)= e^{- pi cdot |xi |^2}.$

證明：依定義，

$egin{aligned} mathscr{F}(e^{- pi cdot |ullet|^2})(xi) &=int_{ mathbb{ R} } e^{- pi cdot |x|^2} e^{-i 2pi cdot x cdot xi} dx \& = int_{ mathbb{ R} } e^{- pi ( |x|^2 + i cdot2 x xi)} dx \& = int_{ mathbb{ R} } e^{- pi ( |x|^2 + i cdot2 x xi - xi^2 +xi^2)} dx \& =int_{ mathbb{ R} } e^{- pi ( x+i cdot xi)^2}e^{ - pi xi^2} dx end{aligned}$

故 $egin{aligned} mathscr{F}(e^{- pi cdot |ullet|^2})(xi) &= e^{ - pi cdot xi^2} cdot int_{ mathbb{ R} } e^{- pi ( x+i cdot xi)^2} dx . end{aligned}$

所以只要證明 $forall xi in mathbb{R}, int_{ x inmathbb{ R} } e^{- pi ( x+i cdot xi)^2} dx =1$ 即可。

考慮「複變函數」中的「解析函數圍道積分」理論。

給定 $R >0.$ 考慮長方形區域 $Omega$ ，其邊界 $partial Omega = { y=0: -R <x <R } cup { x=R : 0< y< xi} cup {y=i cdot xi: -R <x <R } cup { x=-R: 0< y< xi}$

因為函數 $f(z):=e^{-pi cdot z^2}$ 在複平面 $mathbb{C}$ 上「解析」，這裡 $z=x+i cdot y$ 。故有 $oint_{partialOmega} f(z) dz =0.$

給定 $xi in mathbb{R}.$ 因為

$egin{aligned} & 0=oint_{partialOmega} f(z) dz \ & =int_{ x=-R } ^{x=R}e^{- pi cdot x^2} dx + int_{y=0}^{y=xi} e^{- pi ( R+i y)^2} dy \& + int_{ R}^{-R} e^{- pi cdot (x+i xi)^2} dx +int_{y=xi}^{y=0} e^{- pi ( -R+i y)^2} dy \& =: I_1 +I_2 + I_3 +I_4 end{aligned}$

其中 $lim_{R ightarrow +infty}I_3=- int_{ x inmathbb{ R} } e^{- pi ( x+i cdot xi)^2} dx .$ 恰是我們要求的。

由「Lebesgue控制收斂定理」可得： $lim_{R ightarrow +infty} I_2=0, lim_{R ightarrow +infty}I_4=0$ .

故有 $-I_3=I_1= int_{ -R }^{R} e^{- pi cdot x^2} dx , forall R >0$ 成立。

因此 $int_{ x inmathbb{ R} } e^{- pi ( x+i cdot xi)^2} dx = - lim_{R ightarrow +infty} I_3 =lim_{R ightarrow +infty}I_1 =1 .$

Reference：

丁勇. 現代分析基礎[M]. 北京師範大學出版社, 2013.