瞎逛mathoverflow之[number-theory] & [group-theory] tag

逛mathoverflow發現了一些有趣的問題，記錄於此。每次選擇盡量少而有趣。

往期：

瞎逛mathoverflow之[linear-algebra] tag 9.23

瞎逛mathoverflow之[finite-fields] tag 9.25

瞎逛mathoverflow之[examples] tag Ⅰ 9.27

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下面的問題大多涉及群論在數論上的應用，另外群論中一些計數問題也可看成與數論有一些聯繫。

1.When the automorphism group of an object determines the object

Neukirch–Uchida theorem shows that all problems about algebraic number fields can be reduced to problems about their absolute Galois groups.

準確表述為兩個數域的絕對Galois群作為群同構可推出數域同構，這是遠阿貝爾幾何的哲學—基本群決定幾何對象。

2.The inverse Galois problem and the Monster

Q上Galois逆問題是代數數論與群論運用的極好例子。利用分圓擴張可知有限Abel群都可，而利用多項式的Galois群與其mod p後的關係可知對稱群也可。對於可解群自然的想法是構造一列擴張塔（對應合成群列）但這需要解決嵌入問題，在奇數階p群情況可通過簡單的代數數論和局部類域論解決（Scholz-Reichardt），後來Shafarevich也考慮嵌入問題的解證明了任何可解群（特別所有奇數階群）都可。另一條路線則是剛性方法（C(t)上逆問題由黎曼面理論保證，通過平展基本群的理論過渡到Q的代數閉包的有理函數域，再由剛性條件保證能過渡到Q的有理函數域，再由Hilbert不可約回到Q），可用於證明怪獸群等大部分散在單群可被實現。

3.Is there a nice explanation for this curious fact about cyclic subgroups?

G是有限冪零群，考慮G所有循環子群的階的和，則其只與G的階有關。

4.Monstrous Moonshine for Thompson group $Th$?

Monstrous moonshine for $M_{24}$ and K3?

Mystery of the monstrous moonshine

魔群月光建立了模形式與有限單群的不可約復表示的維數的聯繫，是一個很好的例子。

5.Statements in group theory which imply deep results in number theory

代數數論中很多問題的關鍵都可歸結到群論問題上，例如有限群到導群的Transfer map消失即可推出主理想定理（數域的理想到Hilbert類域後均為主理想），Brauer induction theorem推出Artin L function的亞純延拓，Zaiger對四平方和定理的一行證明，S_p可解傳遞子群的唯一性（F_p的仿射變換群）與Serre mass formula等等。

6.Subgroups of $SL_2(mathbb R)$ which contain $SL_2(mathbb Z)$ as a finite index subgroup

Generators for Sl_2 for rings of integers

Dirichlet unit- theorem for reductive schemes

另一個聯繫是代數群的算術子群，例如SL_2(R)的離散子群的結構。

7.Why is $(mathbb{Z}/3mathbb{Z})^3$ not a class group of an imaginary quadratic number field ?

利用虛二次類域的類數的具體下界進行暴力枚舉。（有限群論和初等數論都有一些需要計算機才能找到的巨大反例）

8.embeddings-of-finite-groups-into-gln-q-p

cohomology-of-sl-2-mathbbf-p-acting-on-trace-zero-matrices-over-mathbbf

一些雜例。

9.30