「番外篇」 |「概念」和「概念體系」的意義、效率與局限

02-09

前言
剛入門開始學習經濟學的時候，帶我入門的學姐給我推薦了曼昆的書，之後，還提到了另外一位經濟學家，張五常，以及他的《經濟解釋》。她跟我說，「張的這套書很精彩，但被一些人稱為『離經叛道』的作品，不過建議你馬上找來看，等到你學過經典的教材，大概知道了『經』和『道』都是什麼了，可以拿出來看看」。
後來，我從曼昆的經濟學原理(微觀分冊)開始看，一路都只學了微觀部分，翻來覆去，終於在三年多以後，自以為大概知道了『經』和『道』都是什麼，買了一套《經濟解釋》，看後覺得獲益很多，也理解了學姐當初的心意。再後來，有朋友讓我幫忙推薦教材時，我會提到自己的這個故事。
如今再想，其實拋開書本以及數學模型，微經留下的其實就是那麼一些概念，以及概念之間的關係，或者說，是一套看問題的視角。它有兩個好：第一，概念和概念之間基本是「正交」的，用它來看問題，能拎得清；第二，解釋同樣的現象，這個體系用到的概念數量不多，是簡潔的。而經典教材中的經濟學理論，和《經濟解釋》中的理論，其實就是兩套有著不少交叉但也有關鍵不同的「概念體系」，它們各有各的適用之處。
如果用線性代數的角度來看，假設世界上全部的經濟現象可以抽象為N維空間中的一個點，每個維度就是導致現象發生的一個「因」。我們難以構建起全部N(一套完美精緻的理論)，可以退而求其次，取其中最主要的「因」，降維，構成一套「基坐標系」，再用它來「定位(解釋)」現象。

從這個角度來看，經典教材中的經濟學理論和《經濟解釋》中的理論，其實就是而針對同樣的現象的集合，構建的不同的「基坐標系」。本文用了好多字，其實講的就是這樣一件事。

一、從「聚類」到概念及其效率

在《關於「同志騙婚」的探討》一文中，我曾舉過一個「驢」和「猴」的例子，在這裡重提並細化一下：

假設我們觀察到一群共100隻動物，其中50隻長得很像，體態較大，四蹄著地，黑短毛，長脖子長臉長耳朵；另外50隻長得也很像，體態小巧，時而直立時而四腳著地，金黃色短毛，能上樹，有的在吃桃子，紅屁股上有尾巴。這時，如果我們將每隻動物視為一個樣本點，並取其體重、毛色、臉長、耳朵長為四個變數用來刻畫，之後，將所有樣本點投影到由這四個變數為坐標軸的空間中，我們會發現，100隻動物會出現明顯的兩個「聚類」。那麼，面對這兩個聚類，我們給第一個聚類中所有動物起了一個共同的名字，叫「驢」，雖然它們任意兩隻都不完全一樣；我們又給第二個聚類中所有動物起了一個共同的名字，叫「猴」，雖然它們任意兩隻也都不完全一樣。

「驢」和「猴」兩個概念，就這樣產生了。關於這個過程，我們可以總結幾點：

第一，客觀的事實是一大群動物在形象上出現的聚類現象，「驢」和「猴」兩個概念並不存在，它們是被構造出來的。

第二，關於概念的構造，有三層效果。首先，概念起到了「區別」的作用——叫「驢」和「猴」還是叫「蘋果」和「橘子」並不重要，關鍵是叫兩個不同的名字；其次，概念的存在「簡化」了描述，方便了交流——從聚類到概念的過程，就好像統計中從樣本到均值的過程，概念或均值都只是樣本的「代表」，概念的「效率」取決於聚類有多明顯，或者說「代表性」有多強；最後，概念降低了認知成本，讓人有限的認知資源可以「產出」更多——比如在各種概念的基礎上探索/構造出更多概念及概念之間的關係。

第三，即便聚類現象再明顯，個體間的差異也依然存在，就像方差中的信息無法體現在均值中一樣，所以，使用概念時需要注意「表達精度」的要求。例如，「驢」這個概念對應整個物種，如果要具體到某頭驢，可能需要加上更多描述，比如「那頭馱著麻袋站在河邊的驢」，這樣才能達到足夠的「表達精度」。所以，概念雖然可以提高溝通的效率，但為了達到足夠的精度，還需要注意我們是要在什麼層面上進行描述。

二、概念體系的建立：主成分分析的啟發

如「驢」和「猴」這樣的概念，只是一個定義或描述，是獨立的。但如果概念構成體系，則可以實現「解釋現象」的目的。關於一個「概念體系」的形成，統計學依然能夠給我們一些啟發。

最早從模型的角度思考「概念體系」，是學統計學中「主成分分析」的時候。主成分分析告訴我們，在研究高維數據時，可以通過求樣本的主成分的方法，來實現對數據的「降維」處理，以簡化模型、更好地挖掘數據中的信息。當時不理解的有三點：

(1)什麼是「維」？
(2)為什麼要有「維」？
(3)為什麼要「降維」？

以「學生成績」這個樣本為例，假設樣本中每個樣品為一名學生的成績，用一個長度為9的向量代表，對應九門功課的分數，包括：語文、數學、外語、物理、化學、生物、政治、歷史、地理。顯然，對於這個樣本來說，每個「維度」，就是一門「科目」——換句話說，在統計學中，每個「維度」對應著一種「含義」，我們又叫它「變數」。

那麼，下一個問題就是，為什麼要有「變數/維」呢？

在我的理解中，「變數」有兩個功能：首先是「刻畫」——當我們要認識某樣事物時，總要通過找到一些「特點」來刻畫它，比如在上面的例子中，如果我們要認識的是學生的「學習水平」，選學生的成績作為「特點」，就比較合適。此外，在關心班級總體情況的同時，我們也會關心某個學生的情況，比如排在班級總體的什麼位置，跟其他同學成績差異怎樣，這便體現了「變數」的第二個功能：「區別」。

另一方面，「刻畫」和「區別」，既是變數的兩個功能，也是選擇變數的兩條原則：首先，選擇的變數要是研究目的/對象的較為直接的表現，其次，變數還要能夠體現出樣本中各樣品之間的差別。

以前面提到的問題為例：我們希望了解學生的學習水平，那麼，選擇各門功課的成績作為「變數」，顯然滿足了第一條原則「刻畫」。那如何理解第二條原則「區別」呢？這也帶來了第三個問題：為什麼要「降維」？

顯然，我們想要認識的對象「學習水平」，是一個「綜合的指標」，這使得用九門功課的成績來代表，一方面「不夠」，另一方面又「太多」。首先，說「不夠」是因為：從「刻畫」的角度來看，只用考試成績來代表其實是有遺漏的——比如，還應該考慮學生上課回答問題、課後作業的完成情況等等，此處是在盡量保證操作簡便的情況下，選了九門功課的成績來代表。其次，說「太多」是因為，從「區別」的角度來看，九門功課中，有的功課學生分數差異比較大，有的功課學生分數差異很小，對於「學習水平」這個綜合的指標來說，學生分數差異越大的功課，越能體現更多的信息，或者說，越能「說明問題」，也就有更有代表性。相反，如果一門功課學生分數差異很小，則這個變數包含的信息也就越少，亦即不那麼具有代表性。

事實上，當我們用很多變數來刻畫一組樣本時，因為變數之間互相交叉、重疊，彼此牽扯，會帶來「噪音」和「冗餘」，使我們真正關心的信息淹沒在數據中。所以，這裡的問題是：如何選擇用哪些變數來「刻畫」研究對象，以及，為了減少變數數目讓模型清晰、易於處理，我們該如何確定最具代表性的變數呢？而這就是「降維」的目的，「主成分分析」是一種基本的降維方法。

主成分分析方法認為，「噪音」和「冗餘」問題產生的根源，在於選擇的變數不合適。它給出了一個選擇變數的原則，即：所有樣本點在一個變數所代表的維度上「離散程度」越大，這個變數就越有效。然而，主成分分析的方法並非重新「篩選」一組變數，而是在原有數據的基礎上，用線性變換的方法，重新「構造」出一組滿足以上規則的變數，並按樣本的「離散程度」從大到小排序，依次稱為「第一主成分」、「第二主成分」、「第三主成分」……

經過主成分分析處理之後往往可以看到，只要保留最前面幾個主成分，就足以包含相當大比例的「信息」，在喪失非常有限的信息量的情況下，讓模型得到了相當大的簡化。

三、從概念體系的角度看學科

如果把統計學中的「變數」，對應到一般意義上的「概念」，那麼，主成分分析的方法，可以幫助我們理解一套概念體系的建立。其中包含的對應關係有：「變數」或「主成分」，就是概念體系中的概念；「樣本」，就是概念體系要描述或解釋的現象；「樣本在主成分上的離散程度」或「信息量」，就是概念的代表性或解釋力。

常見概念體系的典型代表是學科。以經濟學為例，其絕大多數內容都可以抽象為概念和概念之間的關係。在本公號之前發布的微觀講義第一講中，我先後介紹了「經濟」、「稀缺」、「價格機制」、「成本」、「收益」、「剩餘」等一系列概念，事實上，如果從概念體系的角度看經濟學這門學科，我們可以嘗試回答以下問題：經濟學中為什麼「產生」或者說「選擇」了這些概念，它們又為什麼沒有出現在其他學科比如物理、生物中？學科或者概念體系的建立，是否存在好/壞的標準，如果存在的話，它的標準是什麼？

首先，這些概念之所以產生於經濟學中，是因為經濟學專註於解釋的現象，在這些概念所代表的維度上離散程度最大，或者說，這些概念對於解釋經濟學所關注的對象來說最接近要害，最具有解釋力，以及顯然，物理、生物等其他學科關注的現象與經濟學不同，自然也就不會選擇這些概念了。其次，如果一門學科關注的所有現象視為一組樣本，那麼，從主成分分析的觀點來看，一套「好」的變數，應當是能夠以儘可能少的個數，解釋儘可能多的現象的——用儘可能少的主成分，來容納儘可能多的信息。

經濟學只是眾多學科中的一個例子，從概念體系的角度看各個學科，會發現它們一定程度上都存在上述特點。這裡可以用一個比喻來描述：不同學科關注的現象不同，每個學科就像一個「坐標系」一樣，精心選擇了儘可能少的軸，讓所有「樣本點(現象)儘可能離散開」，讓每個「點」(現象)在這個坐標系中找到自己的「位置」(解釋)。所以說，學習不同學科，實際上就是在建立自己的「坐標系倉庫」，以便看到更多、理解更多。

四、概念和概念體系的局限

概念的形成和概念體系的建立，極大降低了人們的認知成本，使得人們能夠描述、掌握、揭示更多的現象及其背後的規律。但同時，概念和概念體系也有著先天的信息缺失，或者說是一種「模糊性」，這種模糊性雖然是其效率的基礎，但也往往是其局限所在。

概念和概念體系的局限，可以概括為以下三個方面：

第一，跟「均值無法體現方差中的信息」一樣，概念凌駕於所有個體之上，用概念描述現象，或者用概念體系解釋現象時，難免因為信息缺失造成偏差，尤其是在用一個更宏觀的概念或概念體系，去描述或解釋更微觀的現象時。比如，一個社會宏觀層面上得到的規律，在解釋具體某個人的行為時，往往存在很大偏差。所以，在通過降維構建概念體系的過程中，具體降維到什麼程度，也取決於我們想在什麼層面上尋找規律。

第二，與描述和解釋相反的方向，是向內的對現象的判斷和理解。如果用一個更宏觀的概念或概念體系，去判斷或理解一個更微觀的現象，也容易陷入自以為是實際上謬以千里的狀態——對事件非黑即白的「降維打擊」，以及用貼標籤的方式認識一個人，都是典型的例子。

第三，除了概念和概念體系本身帶來的偏差，還有人在使用它們時帶來的偏差。這本質上也是概念的模糊性導致的，即對於不同人來說，同一個概念所指代的東西有所不同。對於不同類型的概念，這種差異的大小也不同：現實中有可見實體對應的概念差異小，比如蘋果、橘子、周杰倫等等；現實中沒有可見實體的抽象概念差異大，比如理性、善良、成功等等。

那麼，已知如上三方面的局限，我們該怎麼運用概念和概念體系？

第一，要弄清自己是要在什麼層面上描述或解釋現象，尋找精度合適的概念進行描述或構建體系。

第二，在用概念體系判斷或解釋現象的時候，要時刻提醒自己：概念體系是通過降維得到的，存在信息缺失，此外，構成概念體系的概念本身，還可能存在過於宏觀而精度不夠的問題。

第三，本文中一直在提概念體系，事實上在我的理解中，體系中的所有概念加上它們之間的邏輯關係，就是所謂的「理論」。理論看起來漂亮，但在具體情境中未必好用，它的實踐意義更多在於幫助我們在面對問題是迅速形成框架，找到關鍵，不至於犯方向性錯誤，它可以作為一個思考的起點或是參考系，等待豐富更多的細節。所以，要具體情況具體分析，注重細節，正所謂「細節決定成敗」。

五、總結

理解「概念」和「概念體系」是認識世界、尋找規律、明辨善惡的第一步，也是非常關鍵的一步，弄清並理解它們的效率與局限，可以幫助自己少走很多彎路。本文首先講述了「概念」的形成過程，說明了概念是對「聚類」的描述，降低了認知成本，提高了交流效率，但同時也先天地具有模糊性。之後，本文又借用主成分分析的思想，講述了概念體系的建立，並以經濟學為例，提出了一個粗略的評判概念體系優劣的角度。最後，本文強調了概念和概念體系的局限，並就如何運用總結了三點建議。