如何理解把N-S方程中的速度、壓力替換為湍流中流體微元的速度、壓力即可推出湍流雷諾方程組？

02-08

我們知道在湍流中流體微元速度漲落的頻率很大，根據數學上函數可導的定義可知這種速度對時間空間都是不可導的，所以個人感覺直接在它前面加偏導很不嚴密

這是David C.Wilcox Turbulence modeling for CFD中的第36、37頁的圖，看下面說明，湍流量具有各階的連續導數。不知道你的所謂的漲落很大，連續但不可導，是不是只是觀察得來的。

這個問題的提法連錯誤都算不上（not even wrong），猜測題主可能沒有系統學習過連續介質力學......所以我還是來科普一下吧......

首先，N-S方程本身描述的就是處於流體微團的動力學狀態，無論是層流還是湍流，方程形式完全一樣。

其次，如果要推導雷諾方程組，需要進行的操作是「雷諾平均」，跟替換完全沒有關係。雷諾方程組裡描述的是流體微團的某種「平均」動力學狀態。並且由於N-S方程的非線性，會出現附加的項，稱之為雷諾應力。

第三，既然採用N-S方程描述流體運動，那麼我們已經隱含了以下假設：a.觀察尺度遠大於分子尺度，b.流體可以視為連續介質。

從數學上看，連續介質假設已經包括「幾乎處處」可導。（個別間斷處例外，例如空氣里的激波、空氣和水的界面以及固體里的裂紋，但此類間斷也必須滿足守恆律）

這種推倒是雷諾的假設，不用這個方法，也有人創立過別的湍流理論，只是非常非常小眾

ns方程中的流動變數本來就是針對流體微團的，不太明白你說的替換是？

雷諾方程通常是將雷諾分解帶入ns方程推導出的，雷諾在1895年的文章就是這樣推的。

連續介質假設下，流場是可導的，否則也不必用ns方程了。湍流中做雷諾分解，其平均與脈動兩部分仍然都是可導的。實際中大多流動也是符合這一假設的。

漲落頻率很大，是個模糊的概念，到底什麼叫大，是無窮大呢，還是一個有限大的頻率。

實際上，是一個有限大的頻率，該頻率的量級反比於Kolmogorov時間尺度，即流體運動的最小時間尺度，所以做數值模擬時，要解析最小的時間尺度，時間步就必須足夠小，小於這個最小的時間尺度。因此你說的不可導是不存在的，雖然導數很大，但是還是有限值，而且是很物理的有限值。

可以作為對比的是激波，激波在物理上只有幾個分子的尺度，遠小於連續介質意義上的流體微元，在連續介質意義上是需要直接作為間斷處理的，不能直接跨激波求導。