中山正引理

02-08

先上維基：

中山正引理en.m.wikipedia.org

首先，中山正引理是關於finite morphism的，如維基上所說，一般來說有四個版本，個人比較喜歡最後一個版本，並喜歡下圖來記憶：

就概形理論來說，下面這個推論才是最常用的：

好的，代數的東東結束，我們更關心它的幾何是什麼，維基如是說：

Nakayamas lemma says that one can still regard a coherent sheaf as coming from a vector bundle in some sense.

更準確地，來自Vakil給出的中山正引理的幾何解釋：

具體來說，一方面，一個概型上的切向量叢總可以看成一個凝聚層（這是一個特殊的凝聚層，它是有限秩自由層）；反之，我們問，是不是一個概型上的凝聚層都來自其上某種意義下的向量叢？Nakayama引理回答了這個問題：

給定概型 $X$ 上的凝聚層 $mathcal{F}_{p}$ ，（Recall that $mathcal{F}$ is determined by its stalks $mathcal{F}_{p}$ ，所以只需要考慮 $mathcal{F}_{p}$ )，中山正引理說 $mathcal{F}_{p}$ （ $mathcal{F}$ 在點 $p$ 附近的信息）和 $mathcal{F}$ 在 $p$ 點的纖維 $mathcal{F}(p)$ （ $mathcal{F}$ 在點 $p$ 的信息）有很密切的關係（注意到纖維 $mathcal{F}(p)$ 是一個線性空間）：

Nakayamas lemma implies that a basis of the fibre $mathcal{F}(p)$ lifts to a minimal set of generators of $mathcal{F}_{p}$ .