Evans PDE (2nd edition) 第五章習題

02-08

大概是上學期當助教的時候寫的答案。

第五章講的是最基本的Sobolev空間理論，基本上各方面都只講了最簡單的情況。比如Evans並沒有認真講Sobolev空間的Fourier刻畫，也沒有講那些更精細的Sobolev不等式，跡定理之類的也是證明了最簡單的情況。不過這本來就是入門書吧。

稍微提一下，書上第五章有些地方細節是混過去的（至少沒有那麼「顯然」）。

首先是弱導數唯一性的證明裡面有一步（其實是個實變習題了，但我當助教的時候發現不少人還真不會證這一步）

弱導數唯一性證明

第二個是「到邊逼近」定理裡面某一步令ε→0，由於兩個函數都帶了ε所以不是直接利用mollifier的逼近性質就能得出來

第三個是關於跡定理，書上證明倒是沒毛病，不過我覺得知道下面這個不平凡的事實會好一點。

第四個是，緊嵌入那節，書上有一個Remark：

這個Remark在p<n時當然是顯見的，但在p≥n時，需要先找到一個q<n, 使得 $q^*:=frac{nq}{n-q}>p$ . 這樣就有 $W^{1,p}(U)subset W^{1,q}(U)subsetsubset L^{p}(U)$ .

第五個，我個人認為是個不平凡的跳步，它出現在這個294頁的定理證明裡面：

首先，定理的結論敘述不是完全嚴格。 $W^{1,infty}$ 函數可以修改一個點的值而不影響函數本身，但修改了一點的值之後，「點點Lipschitz」這個性質就會丟掉。

其次，劃橫線處的一致收斂（哪怕是點點收斂）並不是一個顯然的步驟，不信你把積分寫開看看。個人認為應該按如下敘述比較精確（上學期我當助教的時候，老師把這題出在期中考試了2333）

——————————習題答案—————————————

請不要拿出去賣錢或者賺XX幣之類的吧，做人好歹有點道德底線。