傑出科學世家——伯努利家族恩仇錄

?伯努利兄弟

撰文 | 洪蔚琳

責編 | 李娟

知識分子為更好的智趣生活 ID：The-Intellectual

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當丹尼爾·伯努利帶著巴黎科學院的大獎回到家鄉，父親約翰只做了一個決定：把兒子趕出家門。這一年，父子倆各自提交論文，最終共享殊榮，但這隻會激起約翰的懊惱。關上房門，約翰料定，這是兒子刻意為他設下的圈套，想與他平起平坐。如此奇恥大辱，他一生都不會原諒。

這是1734年，牛頓已長眠地下。在失去所有對手後，約翰·伯努利終於成為這個時代最舉足輕重的數學家。他在日記中傲然寫道：「我的對手們都死在我前面，而且都比我年輕，這是一種命運。」他一人站在高峰，縱然孤獨，卻不允許任何人奪去他的光芒，哪怕是他自己的後代。

沒有人能解釋，是什麼造就了伯努利家族。從十七、十八兩世紀以來，伯努利家族三代人中出現了八位卓越的科學家，在微積分的發展和應用上扮演領導角色，推動整個世界科學史翻過劃時代的一頁。但與科學光輝相對的，是家族內部從未平息的紛爭。當智慧與激情代代相傳，流動在伯努利家族血液中的，還有名垂青史的野心和獨攬榮耀的慾望。

?伯努利家族譜系表

像酒鬼碰到烈酒

老尼古拉·伯努利失去了一切指望，他沒能阻止大兒子雅各布投身數學，如今小兒子約翰也要走上哥哥的老路。那時他無法預料，兩兄弟日後將成為歐洲大陸首屈一指的數學大師，他滿腦子都是家道或將中落的傷感。

可以想像，這個新教家族離開安特衛普，在戰火中經歷長達50年的逃亡，才終於定居在瑞士巴塞爾。幾代先祖經商，並與商人的女兒結婚，才終於累積起大量財富。優先學習商科，其次是神學與醫學，成為伯努利家族代代相傳的家訓。怎麼到了這一代，情況就變了呢？後世將伯努利兄弟對數學的狂熱調侃為「像酒鬼碰到了烈酒」。老尼古拉想不通，貧苦的數學生涯究竟有什麼值得追求。

無論如何，17世紀的漫遊之風讓雅各布跳出家族傳承的框架。在取得神學碩士學位後，他和當時的眾多青年一樣，騎馬去遊歷。從日內瓦到法國、荷蘭、英國，他在途中一邊傳道，一邊做數學家教。在寬鬆的環境下，他自學笛卡爾的自然哲學，寫下200餘篇關於數學的日誌。六年後回到巴塞爾，他再也不想去做神職人員，只想鑽研數學。巴塞爾大學為他提供了教職，他開始在授課之餘，定期向數學雜誌投稿。

哥哥的經歷究竟對約翰意味著什麼？在他入讀巴塞爾大學的那一年，雅各布剛好回到家鄉。眼見著長子辜負了家族的期望，老尼古拉把光耀門楣的全部責任壓在約翰肩頭。這個孩子看上去聰明、外向，是父母眼中經商的好苗子。老尼古拉不遺餘力地向他灌輸道德與宗教——在新教倫理中，努力掙錢即道德。約翰長到15歲，就被父親安排進入家族商行做學徒。他心底的聲音從來沒有得到尊重：他厭惡商業，他也喜歡數學。

哥哥的任性無疑為約翰帶來了更沉重的壓力，但也為他的選擇做了榜樣。一年後，約翰以攻讀醫科作幌子，勉強說服父親讓他去讀大學。他似乎比哥哥更善於搭建自己的人際網。短短几年，他和萊布尼茨、醫學著作家Daniel Leclerc、哲學家尼古拉斯?馬勒伯朗士成了朋友、並通過馬勒伯朗士結識洛必達侯爵，在接下來漫長的數十年中擔任侯爵的數學老師。在巴塞爾大學，他最終向父親顯示了自己遠超醫學之外的，真正的興趣和野心：他把微積分應用於肌肉收縮，因此獲得醫學博士學位。這項工作在數學領域同樣有分量。

?雅各布·伯努利（左）與約翰·伯努利（右）

裂痕

洛必達侯爵在1696年收到約翰的來信，信中寫道：「你不會相信，我這個哥哥是多麼名不副實。他恨我，迫害我，試圖摧毀我….他看上去對我溫和友好，心裡卻暗藏毒藥。」

沒有一個標誌性的事件，證明兄弟情誼在哪一刻戛然而止。或許一切早有端倪：十五年前，當兩人同時活躍在巴塞爾大學，雅各布是教師，而約翰是學生。約翰在哥哥的指導下接觸數學，他們也曾共同完成一系列卓越的研究成果，但這段關係從一開始就暗藏罅隙。

約翰在自傳中寫道：「那段時間，我模仿著哥哥雅各布的興趣，認真從事數學研究。我只用了不到兩年時間，就讀遍所有經典數學家，還熟悉了現代大師的成果，如笛卡爾的幾何學。」約翰視自己為自學者，但雅各布把弟弟當成自己的學生。在寫給萊布尼茨的信中，他明確聲明，約翰的全部數學基礎都來自他的饋贈。

著名的懸鏈線之爭讓矛盾顯化，原本處於「助手」角色的約翰第一次擊敗哥哥，一夜間躋身歐洲最重要的數學家行列。懸鏈線問題如今看來非常簡單：兩端固定的繩子（或鏈條）由於重力而自由下垂，形成的曲線到底是什麼形狀。在微積分和牛頓力學初建的年代，答案懸而未決。早在1638年，伽俐略錯誤地猜測懸鏈線是拋物線，八年後，17歲的少年惠更斯推翻了這個假設。但不是拋物線，又是什麼線？它的方程是怎樣的？最初是雅各布在期刊上建議數學界重新對問題展開研究。

?不同的懸鏈線

雅各布最終收到了多個答案，其中就有來自弟弟約翰、萊布尼茨以及惠更斯。他們成功地用微積分解決了問題，證明懸鏈線是一個雙曲餘弦函數。自己提出的問題被弟弟破解，這本已令雅各布感到尷尬，而約翰抓住這個機會，四處靠貶損哥哥來抬高自己，更是激化了二人的矛盾。

直至27年後，約翰在給蒙莫爾的信中談起此事，依舊用詞輕蔑。他寫道：

「哥哥的努力沒有結果。而我卻幸運得多……我花了一晚上來鑽研它……第二天早上，我滿懷喜悅地跑到哥哥那兒，他還在痛苦地思索如何解開這個戈爾蒂之結。他茫無頭緒，老是像伽利略那樣認為懸鏈線是一種拋物線。打住！打住！我對他說，不要再試圖證明懸鏈線是拋物線來折磨你自己了，因為這完全錯了……這兩條曲線完全不同，一條是代數的，另一條是超越的……我向他展示我的解決方案，並發現了引導我成功的方法。」

掙脫

約翰動身去遊歷，先到日內瓦，然後法國…..是的，連遊歷路線都與哥哥出奇一致。他一面模仿著哥哥的漫遊，一面渴望掙脫：他成熟了，不再甘於做個助手。也許只有遠離哥哥，他才能成為獨立的科學家。

通信與學術上的合作並未終止。他們探索同樣的問題，不斷從對方的觀點中獲取靈感。依舊是雅各布提出問題，兩人常常同時發表文章，但不再合著，任何成果總是歸於其中之一。

但約翰依舊是被動的，像被哥哥隱形的手掐住喉嚨。創辦於萊比錫的德意志第一份專業科學期刊《教授學報》（Acta Eruditorum）是兩人刊發成果的主要陣地，但約翰卻無法與《教授學報》直接溝通，一切都要靠哥哥作中介。由此引發的不愉快接二連三：約翰把一篇文章寄給哥哥，刊發後卻發現哥哥在結尾自作主張地加段落，並附署名；出於難以說明的原因，哥哥有時並不會將萊比錫方面的消息轉告約翰。

?《教授學報》（Acta Eruditorum）

令約翰難以容忍的是，這種無形的控制讓他無法擁有專屬於自己的榮耀。他常常在信中滿腹牢騷：「你為什麼不能多等一段時間，再發表你的發現？我已經找到了更好的方法，比你的更有普適性」；「也許你覺得我的想法全是受你啟發，但我說的都是事實」；「就算我不是第一個找到它的，我應得的讚美也一點兒不該少。」誠然，如果數學界只保留第一個發現者的名字，那麼第二個人還能期望得到什麼認可？一個擁有同等天才的人，如何能忍受一生做他人的附庸？

雅各布似乎從未考慮過弟弟的感受。他曾把學術上的合作比喻為兩個人去兩個不明地點旅行，每個人都儘可能地帶回東西，但沒有人能拿到另一個地點的一切。因此，面對同樣的問題，即使兩個人都以自己的方式找到正確的解決辦法，任何人都不該得到所有榮耀。這似乎是雅各布的哲學。但每每涉及具體問題，他又換了一套說辭：他才是發現新徑的人，約翰只是他的跟從。

在這劍拔弩張的時刻，有關懸鏈線的問題再一次觸發了筆戰的機關。雅各布對風中船帆的形狀問題產生興趣，他寄給弟弟一個曲線的微分方程（d2x ：dx = dy3），並要求從中得出能表達曲線性質的文字或代數方程。約翰的第一反應是，船帆的曲線可以用懸鏈線來定義，卻被哥哥否決。

雅各布考慮風影響帆的多種情形，這遭到了約翰的嘲諷：「你聲稱帆部分是圓的外圍，部分是其他曲線的外圍，怎麼可能產生兩條不同的曲線？你就像古人相信大炮球的軌跡有三條線。如果這不是幻覺，那它一定是普羅透斯。」他的措辭相當犀利。在舊時代，大炮的軌跡被認為是由直線和曲線組成；希臘神話中的海神普羅透斯經常變化外形，就像直線和曲線兩種形態來回替換。

當約翰在巴黎旅途中，雅各布終於發現了標誌性的結果：曲線確實是懸鏈線。但他只寄給約翰一個方程式，並未言明曲線性質。興奮的約翰立即發現，它就是一個懸鏈線！他猜想哥哥並沒看出這一點，便在1692年4月的期刊文章中如此調侃：「哥哥再次強迫我完成他的工作，顯然，他做到方程式這一步就完全放棄了。」不幸的是，雅各布早已在3月投出他的解決方案，5月發表。

約翰自以為抓住了獨立的機會，但他輸了。更糟的是，這段兄弟關係從此再難修復。被激怒的雅各布決定盤點他的所有首次發現。他甚至寫信給萊布尼茨，講述他和約翰的生平以及他們早年的數學成就。他聲稱自己才是參透萊布尼茲微積分奧秘的第一人，約翰分享了他的果實。

宣戰

戰火燒到了整個數學界，幾乎全世界所有最重要的數學家都收到約翰的邀請，為最速降線提出解決方案。為確保宣傳的廣泛性，約翰甚至在格羅寧根印刷海報。這一次，他要主動出擊，打敗他的哥哥。

雅各布坐在書桌前，他攤開剛剛收到的海報，淡定地笑笑。他馬上提筆給萊布尼茨寫信：「在這個瞬間，我把手放在一張印刷海報上。我能感覺到，我弟弟彷彿在字裡行間潑上毒液。他想讓世界上所有數學家解決他的問題，特別是我。」

什麼形狀的滑梯，能讓滑動者到達地面的時間最短？這就是最速降線問題。假設A和B是地面上高低不同（A不低於B）、左右有別的兩個點，一個沒有初始速度的小球，在無摩擦力，只有重力的作用下從A點滑到B點。從A到B的軌道可以有很多，哪一條軌道，將使小球從A到B的時間最短？

?最速降線問題

約翰早已知曉答案，他用兩個星期解決了這個問題。在收到哥哥的答案後，他立刻歡欣雀躍。無可爭議！我的答案簡潔漂亮，而哥哥的答案是最笨最差的。他再次單方面宣告了自己的勝利，但事實果真如此么？

約翰的答案的確簡潔，因為他借用了光學中費馬的光程最短原理。法國數學家費馬研究光學時發現，光線在兩點間的實際路徑是使所需的傳播時間為極值的路徑。在大部分情況下，此極值為最小值，但有時為最大值，有時為恆定值。換言之，光線傳播的經典路徑是變分為0的路徑。約翰用光線類比小球，導出了最短路徑所滿足的微分方程。他的答案沒錯，卻是一種投機取巧，因為他當時無法論證這種做法的正確性。

雅各布的方法很繁複，卻在推導中閃爍出新的變分思想的光輝。他首先假設小球沿著最速路徑下滑，然後考慮：如果在某個時刻，小球的路線稍微偏離了最速路徑，會發生什麼情況？上述做法已經是一種變分的思想，因為他是在考慮所有微小偏離路徑中使得時間最小的那個偏離。然後，雅各布用二階導數的方法證明，為使小球繼續走時間最短的路，它的路線的微分偏離量應該滿足的方程，剛好是擺線所滿足的微分方程。

恩斯特·馬赫曾如此評價兩兄弟：「他們一個有藝術家一般的直覺與激情，一個有批判性的思維縱深。這是天才的兩面，如果結合在同一個人身上，就會造就偉大的科學家。可惜這兩面分開了，那麼衝突就是必然。」

這是多麼精闢的評點！雅各布心思縝密，個性沉穩，他總是通過解決應用數學的具體問題，來發現具有普適性的一般方法。他的整個認識論是，知識要靠無數個小步驟建構起來。 「科學如同自然，沒有任何跨越。但要完成情形的過渡，只需要無限小的一個跳躍就足夠了。」相比之下，約翰似乎總是橫衝直撞。他擁有天才般的直覺，卻沒耐心去等一個緩緩到來的結果。

約翰並不理解，他自以為是的勝利沒有任何意義。在這場爭鬥中，同在數學圈的家人們普遍站在了雅各布的一邊。當哥哥依靠親友和門徒的支持繼續坐穩巴塞爾大學的教席，約翰卻遭到排擠，被迫遠赴荷蘭。當然，格羅寧根大學的教授職位也很不錯，但離家萬里，且帶著失意者的落寞。

1697年的平安夜裡，他哀怨地寫信給數學家皮埃爾·伐里農：「我有時刺傷哥哥，是因為我無法對他的苛待無動於衷，更沒有懦弱到任由他把我踩在腳下；我努力擺脫他，我從不以任何方式依賴他，我從不欠他什麼。」

遺憾

約翰在旅途中收到了哥哥去世的消息。在死於痛風併發症前，雅各布似乎預感到生命的衰亡，他在給雷布尼茲的信中寫道：「如果我不久後將過世，我弟弟肯定會回到巴塞爾。他不會接受其他職位，他只想接替我的位子。」

沒有人知道，約翰在收到死訊的一刻是何心情。但如哥哥所料，他轉身回鄉，代替雅各布成為巴塞爾大學的數學教授。

大戲已經落幕，但如同一個輪迴，當孩子們一個個出生，約翰開始扮演起當初父親的角色。他反對兒子們學習數學，逼迫他們經商。然後，他的兒子丹尼爾和當年的他一樣固執，在巴塞爾大學攻讀醫學後，不久便轉向數學，並成為家族中成就最大者。

約翰一生好鬥，到了晚年愈發離譜。在因巴黎科學院大獎父子反目後，丹尼爾有意迴避父親的研究領域，約翰卻有意去鑽研丹尼爾熟悉的流體力學。當丹尼爾在1738年出版著作《流體力學》，約翰也緊隨其後出版了一本《水力學》，並有意將寫成時間註明為1732年。更糟的是，約翰實際上從兒子的書中盜用了素材。在日後一封寫給歐拉的信中，丹尼爾義憤填膺：「我寫出的《流體力學》從頭到尾都不用感謝我父親……我被搶劫了，失去了10年辛苦的成果。」

這不像是一個正常父親的作為。事實上，約翰曾把自己的得意弟子歐拉送到聖彼得堡，去幫助丹尼爾度過艱難歲月，卻難以接受多年後的青出於藍。此情此景，多麼像他與哥哥一生糾纏的重演。伯努利家族奉行的正是這樣一條箴言：我樂於共享知識，但分攤榮耀卻萬萬不可。

?丹尼爾·伯努利

萊比錫大學的數學教授魯迪格·希勒認為，父親的消極態度對兄弟兩人的個性產生了不幸的影響。然而，作為弟弟的約翰受害尤其深重。1701年，34歲的約翰寫信給父親，口吻仍像一個求愛而不得的、傷心的孩子：「我從沒收到過父親的信，這說明你更喜歡哥哥們，對我沒有感情。我真的不值得像哥哥那樣被關心么?……你不允許我過自己想過的生活，而我已經將自己置於神的引導下。所以，請你不要來巴塞爾帶走我的名譽，並說你與之毫無關係。」

或許是不被父親認可的遺憾主宰了兄弟兩人一生的命運，或許是對數學過於強烈的激情把伯努利家族引向偏執。將自己畢生的價值孤注一擲地砸在一門學科上，這必然帶來生命的沉重，卻也成就科學史上的輝煌。

雅各布一生的一句箴言，用拉丁語寫就，就像伯努利家族共同的心結：我違父意，鑽研群星。（Invito patre sidera verso. ）

參考文獻：

1. Peiffer, Jeanne. "Jacob Bernoulli, teacher and rival of his brother Johann." Journal électronique dHistoire des Probabilités et de la Statistique [electronic only] 2.1b (2006): Article-1.

2. 哈爾, 赫爾曼, and 范偉. 數學恩仇錄: 數學家的十大論戰. 復旦大學出版社, 2009.

3. 宋廣利, 張韡, 劉樹勇. 伯努利家族數學研究興盛原因淺析[J]. 首都師範大學學報: 自然科學版, 2008, 29(4): 18-21.

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