你完全可以理解量子信息（4-5） | 袁嵐峰

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導讀

量子力學不是玄學，而是一套清晰的數學框架，可以比作微觀世界運行的一本操作手冊。根據這本操作手冊，我們能對微觀世界做出精確的預測，跟實驗符合到小數點後第9位甚至更多。從信息科學的角度看來，量子力學中能夠利用的是「三大奧義」：疊加、測量和糾纏。

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（前兩篇見你完全可以理解量子信息（1） | 袁嵐峰、你完全可以理解量子信息（2-3） | 袁嵐峰）

四、微觀世界運行的操作手冊

你可能聽說過不少渲染量子力學如何難以理解的說法，如「連愛因斯坦都理解不了量子力學」，「費曼說，沒有人理解量子力學」。但對初學者來說，這些說法有點誤導，會讓你以為量子力學是一種玄學、禪機，一種類似腦筋急轉彎或者詭辯的東西。

實際上，量子力學是一套清晰的數學框架，可以比作微觀世界運行的一本操作手冊。全世界有數以百萬計的科技人員熟悉這本操作手冊，就像全世界有數以百萬計的管道工熟悉管道操作一樣。根據這本操作手冊，我們能對微觀世界的運行做出精確的預測，跟實驗符合得極好，常常準確到小數點後第9位甚至更多。

英國物理學家狄拉克的名著《量子力學原理》

那麼難理解的是什麼呢？是這本操作手冊「為什麼」是這樣，這是個哲學層面的問題。而這本操作手冊本身，是十分清楚的。好比你拿到《九陰真經》，雖然不明白裡面很多地方為什麼這麼寫，但你照著練就能成為武林高手。

從信息科學的角度看來，量子力學中能夠利用的是三個非常違反宏觀世界日常經驗的要點：疊加、測量和糾纏。我們不妨稱之為「三大奧義」。這不是說量子力學中只有這三個奧義，當然還有其他的，只是跟信息科學的關係不是那麼大，本文中就不介紹了。

這三大奧義雖然違反「常識」，但微觀世界的許多實驗早已驗證了它們的正確性。在閱讀下文時，每當你感到「這怎麼可能」、「這不是胡說八道嗎」的時候，請記住，這些原理不是某個科學家的心血來潮向壁虛構，而是已經經過近百年來的無數實驗反覆證明的，其應用範圍幾乎涉及我們身邊所有事物。所以，在目前的認識範圍內，科學界把這些原理視為真理。

如果你想問「如果這些理論是錯的會怎麼樣」，回答是：你的電視就開不了機，手機就通不了信，計算機就算不了東西，燈管就發不了光。所以，你希望這些理論是錯的，還是對的呢？

下面我來具體解釋這「三大奧義」，其中要用到一些數學符號，——因為這是最容易理解的方式。如果用日常語言來描述，會多費很多口舌，還說得不清不楚。許多文章令人越看越糊塗，就是這個原因。而用數學語言來描述，就能準確簡潔地了解這「三大奧義」。

如果你真心想理解量子信息，超出吃瓜群眾的水平，你就一定要跨越這個心理障礙，勇敢地面對數學。這樣做了以後，你就會發現，其實並不難，你完全可以做到！

五、第一大奧義：疊加

「比特」是計算機科學的基本概念，指的是一個體系有且僅有兩個可能的狀態，一般用「0」和「1」來表示。典型的例子，如硬幣的正、反兩個面或者開關的開、關兩個狀態。

但在量子力學中，情況出現了本質的不同。量子力學有一條基本原理叫做「疊加原理」：如果兩個狀態是一個體系允許出現的狀態，那麼它們的任意線性疊加也是這個體系允許出現的狀態。

現在問題來了，什麼叫做「狀態的線性疊加」？為了說清楚這一點，最方便的辦法是用一種數學符號表示量子力學中的狀態，就是在一頭豎直一頭尖的括弧「|>」中填一些表示狀態特徵的字元。這種符號是英國物理學家狄拉克發明的，稱為「狄拉克符號」。

在量子信息中，經常把兩個基本狀態寫成|0>和|1>。而|0>和|1>的線性疊加，就是a|0> + b|1>，其中a和b是兩個數。「線性」意味著用一個數乘以一個狀態，「疊加」意味著兩個狀態相加，所以「線性疊加」就是把兩個狀態各自乘以一個數後再加起來。

疊加原理說的是：如果一個體系能夠處於|0>和處於|1>，那麼它也能處於任何一個a|0> + b|1>，這樣的狀態稱為「疊加態」。這裡a和b可以取任何數，對它們唯一的限制，就是它們的絕對值的平方和等於1，即|a|2+ |b|2 = 1。

疊加原理乍看起來完全和常識相反。假如用|0>代表你在北京喝茶，|1>代表你在巴黎喝茶，那麼(|0> + |1>)/√2就意味著你同時在北京與巴黎喝茶！這種狀態怎麼可能存在呢？

但量子力學的一切實驗結果都表明，疊加原理是正確的，是一條必不可少的基本原理，至少在微觀世界中是如此。一個電子確實可以「同時位於兩個地方」（這句話實際的意思，要到下一節講「測量」時才能完全明白）。至於宏觀世界裡為什麼沒見過一個人同時位於兩處，那是另一個深奧的問題，我們在本文中不做進一步的討論。

量子力學中的「疊加」

在疊加原理的框架下，經典的比特變成了「量子比特」。也就是說，這個體系的狀態不是只能取「0」或取「1」了，而是可以取任意的a|0>+ b|1>狀態，例如(|0> + |1>)/√2、(|0> - |1>)/√2、(|0> + √3|1>)/2、(√3|0> - |1>)/2等等。從兩個選擇到無窮多個選擇，這是個巨大的擴展。顯然，一個量子比特包含比一個經典比特大得多的信息量。

為了更方便地理解這個概念，我們可以把一個量子力學的狀態理解成一個矢量（請回憶高中數學，矢量就是既有大小也有方向的量，例如牛頓力學中的力、速度、位移都是矢量）。實際上，狄拉克符號|>正是為了讓人聯想到矢量而設計的。以後我們就把表示量子力學狀態的矢量稱為「態矢量」。

我們可以認為，所有的a|0> + b|1>態矢量都屬於同一個平面。而在這個平面上，|0>和|1>定義了兩個方向，相當於xy兩個坐標軸上的單位矢量。在|a|2 + |b|2 = 1的條件下，a|0>+ b|1>就是從原點到半徑為1的單位圓上一點的矢量。看清楚這個幾何圖象，我們立刻就明白，單位圓上任何一點的地位都是相同的，沒有一個態比其他態更特殊，可謂「眾生平等」。

回憶一下高中學的解析幾何。在那裡我們首先要畫出坐標系，確定兩個坐標軸的方向，但具體的選擇完全是隨意的。任何兩個方向都可以作為x軸和y軸，只要它們互相垂直。無論你怎麼選擇坐標軸，最終的計算結果都不會變（當然，計算過程的繁簡程度可能不同）。在這裡也是一樣，你選擇哪兩個矢量作為|0>和|1>都可以，唯一的要求就是它們互相垂直。

疊加原理和基組

我們可以定義兩個狀態|+> =(|0> + |1>)/√2和|-> = (|0> - |1>)/√2，從圖中可以看出，它們相當於把|1>和|0>向左旋轉45度。如果把|+>和|->當作基本狀態，用它們的線性疊加來表示單位圓上所有的狀態，同樣是可行的，——這就相當於把坐標系向左旋轉了45度。在這個新的坐標系下，|0> = (|+> + |->)/√2，|1> = (|+> - |->)/√2。

事實上，一種常見的實現量子比特的方法，就是用光子的「偏振態」。光是一種電磁波，不斷地產生電場和磁場。如果電場位於某個確定的方向，我們就說這個光子是偏振的。四個狀態|0>、|1>、|+>和|->，分別對應光子的偏振處於0度、90度、45度和135度。在這個體系中，上面的圖就不僅是個比喻，而且直接對應實驗了。

取一組矢量，如果其他所有的矢量都能表示成這組矢量的線性疊加，那麼這組矢量就叫做「基組」。|0>和|1>構成一個基組，|+>和|->也構成一個基組，這樣的基組有無窮多個。

根據上面的圖，我們還可以做一個比喻：經典比特是「開關」，只有開和關兩個狀態（0和1），而量子比特是「旋鈕」，就像收音機上調頻的旋鈕那樣，有無窮多個狀態（所有的a|0> + b|1>）。顯然，旋鈕的信息量比開關大得多。

（未完待續）

背景簡介：本文作者為袁嵐峰，中國科學技術大學化學博士，中國科學技術大學合肥微尺度物質科學國家實驗室副研究員，科技與戰略風雲學會會長，微博@中科大胡不歸，知乎@袁嵐峰（https://www.zhihu.com/people/yuan-lan-feng-8）。本文應新浪科技之邀，2017年8月31日以《<科學大家>| 4萬字乾貨！你完全可以理解量子信息》為題發表於新浪科技「科學大家」欄目（http://tech.sina.com.cn/d/2017-08-31/doc-ifykpysa2199081.shtml）。

致謝：感謝中國科學技術大學合肥微尺度物質科學國家實驗室陳宇翱教授、陳騰雲博士、彭新華教授、陸朝陽教授、張強教授、張文卓博士和清華大學交叉信息研究院尹璋琦博士、物理系王向斌教授在科學內容方面的指教。

責任編輯：孫遠

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