復幾何的故事（0）序

02-08

一轉眼進入數學系已經接近四年了，這四年間數學的方方面面都有了些許的接觸。數學發展到今天，已經成了無數個高度專門化的領域裡一系列工具、思想、方法的總和，這些不同領域的工具之間的差異有時甚至使數學變得像許多不同學科的匯總。我時常想，在這些紛繁的工具背後，是否有某種共性？而值得慶幸的是，復幾何恰恰提供了一種可能的回答。

　　復幾何是一個諸多現有的數學分支的一個交叉領域，從分析的角度看，我們有古典的多複變函數論，有複流形上的PDE，有多重勢理論(pluripotential theory)，有一系列變分方法。從代數與幾何的角度看，我們有GAGA類型的對應，有乘子理想層，有極小模型綱領，有形變理論，有復解析空間等等。

　　自上世紀七十年代開始，復幾何幾乎有了翻天覆地的變化，我們來提及幾個例子：Yau巧妙而深刻地解決Calabi猜想，將PDE的方法真正引入。Mori獨具匠心地解決Hartshorne猜想，告訴人們Grothendieck發展起的抽象代數幾何已經與復幾何難解難分。Ohsawa-Takegoshi的L^2延拓定理證實了Hoermander的L^2估計是一個巨大的寶庫。Demailly研究複流形上的各種上同調類帶來了複流形上正確的相交理論。Yau, Uhlenbeck，李駿關於Hermitian-Einstein度量的研究使得穩定性進入復幾何。田剛，陳秀雄，Donaldson等人的一系列工作解決了Yau猜想，使得Fano流形上的典則度量成為一個良好理解的概念。Kodaira，蕭蔭堂,Voisin等人的一系列工作使得複流形上的形變理論有了一個輪廓。Deligne, Soulé等人的工作則揭示了復幾何與Arakelov幾何之間深刻的聯繫……

　　我工作的領域是復幾何中一個微小卻重要的部分——典則度量，我感到，我在合適的時間進入這個領域，一方面，這個領域是年輕的，從Yau的時代開始，過去數十年中最重要的文獻一個研究生尚且有精力讀完，另一方面這個領域中核心的問題Yau-Tian-Donaldson猜想尚且沒有實質的突破，而且它深刻的背景足夠為整個復幾何領域提供足夠多的新思想，新方法。

　　對我而言，復幾何是一個巨大的寶庫，我享受著學習其中的方方面面，也享受著研究其中一些新的問題。這一系列文章，或多或少就是希望能把復幾何帶給我的愉快分享給更多人，尤其是那些工作在其他數學領域的專家或是希望進入這一領域的本科生。

　　按照我的設想，這一系列中我會介紹許多這個領域的歷史，從複數的出現到這個領域的今天，與之相比，涉及到的數學則顯得次要一些。我不知道這個系列會寫多久，更新的周期也不會固定，也許一兩天，但更可能是一兩周。