能帶理論1——能帶理論簡介

02-08

能帶論是目前研究固體中的電子狀態，說明固體性質最重要的理論基礎。它的出現是量子力學與量子統計在固體中的應用的最直接、最重要的結果。能帶論成功地解決了Sommerfeld自由電子論處理金屬問題時所遺留下來的許多問題，並為其後固體物理學的發展奠定了基礎。

能帶論的基本出發點是認為固體中的電子不再是完全被束縛在某個原子周圍，而是可以在整個固體中運動的，稱之為共有化電子。但電子在運動過程中並也不像自由電子那樣，完全不受任何力的作用，電子在運動過程中受到晶格原子勢場的作用。

能帶論的兩個基本假設：

Born-Oppenhaimer 近似（玻恩-奧本海默絕熱近似）

所有原子核都周期性地靜止排列在其格點位置上，因而忽略了電子與聲子的碰撞。

在統計物理、固體物理中，討論晶格布里淵區時假定晶格中的原子在平衡位置靜止不動。實際上晶體中的原子進行著熱振動。這對電子的運動將產生一定的影響。由於原子核的質量比電子的質量要大得多，所以其運動速度比電子慢得多。
由於電子的質量比原子核質量遠小得多，所以可以把電子和原子核的運動分開處理，即只考慮原子核對電子的庫侖作用，不考慮其他兩者的作用，相當於原子核對電子只提供外勢.

在B-O近似下，晶體的由電子和原子核形成的多體系統轉化為晶格上原子核的經典力學運動和多電子的量子力學運動.原子核的運動近似為簡諧振動，簡諧振動可以看做許多格波的線性疊加，格波的量子是聲子；而相互作用多電子體系用薛定諤方程描述.

Hatree－Fock平均場近似

忽略電子與電子間的相互作用，用平均場代替電子與電子間的相互作用。即假設每個電子所處的勢場完全相同，電子的勢能只與該電子的位置有關，而與其他電子的位置無關。

能帶的形成

孤立原子中電子的分立能級

多原子系統電子能級的分裂

晶體中能帶的形成

一維能帶結構擴展布里淵區表示

在單原子中電子能級是分立的，這一點是基於量子力學的描述，否則按照經典物理描述能級就是連續的。在晶體中，由多個原子的共同作用使得單能級分裂為N個能級，看起來這些能級就像連續分布的的，我們就叫它能帶。於是我們才有了價帶、導帶、禁帶的概念。

(1)導帶conduction band

導帶是由自由電子形成的能量空間。即固體結構內自由運動的電子所具有的能量範圍。對於金屬，所有價電子所處的能帶就是導帶。　　

對於半導體，所有價電子所處的能帶是所謂價帶，比價帶能量更高的能帶是導帶。在絕對零度溫度下，半導體的價帶(valence band)是滿帶，受到光電注入或熱激發後，價帶中的部分電子會越過禁帶(forbidden band/band gap)進入能量較高的空帶，空帶中存在電子後即成為導電的能帶——導帶。

施主與受主：對於摻雜半導體，電子和空穴大多數是由雜質來提供的。能夠提供電子的雜質稱為施主；能夠提供空穴的雜質稱為受主。施主的能級處在靠近導帶底的禁帶中；受主的能級處在靠近價帶頂的禁帶中。實際上未摻雜半導體的費米能級在價帶和導帶的中央附近。n型半導體的費米能級在導帶底附近，而p型在價帶頂附近。

勢能/動能：導帶底是導帶的最低能級，可看成是電子的勢能，通常，電子就處於導帶底附近；離開導帶底的能量高度，則可看成是電子的動能。當有外場作用到半導體兩端時，電子的勢能即發生變化，從而在能帶圖上就表現出導帶底發生傾斜；反過來，凡是能帶發生傾斜的區域，就必然存在電場（外電場或者內建電場）。

(2)價帶與禁帶

價帶（valence band）或稱價電帶，通常是指半導體或絕緣體中，在0K時能被電子佔滿的最高能帶。對半導體而言，此能帶中的能級基本上是連續的。全充滿的能帶中的電子不能在固體中自由運動。但若該電子受到光照，它可吸收足夠能量而跳入下一個容許的最高能區，從而使價帶變成部分充填，此時價帶中留下的電子可在固體中自由運動。

禁帶(Forbidden Band) 常用來表示價帶和導帶之間的能態密度為零的能量區間。禁帶寬度的大小決定了材料是具有半導體性質還是具有絕緣體性質。半導體的禁帶寬度較小，當溫度升高時，電子可以被激發傳到導帶，從而使材料具有導電性。絕緣體的禁帶寬度很大，即使在較高的溫度下，仍是電的不良導體。無機半導體的禁帶寬度從0.1～2.0eV，π-π共軛聚合物的能帶隙大致在1.4～4.2eV,絕緣體的禁帶寬度大於4.5eV。

（3）導帶與價帶的關係：

「電子濃度=空穴濃度」，這實際上就是本徵半導體的特徵，因此可以說，凡是兩種載流子濃度相等的半導體，就是本徵半導體。

注意：不僅未摻雜的半導體是本徵半導體，就是摻雜的半導體，在一定條件下（例如高溫下）也可以轉變為本徵半導體。

空穴，載流子：價帶中的許多電子（價電子）並不能導電，而少量的價電子空位——空穴才能導電，故稱空穴是載流子。空穴的最低能量——勢能，也就是價帶頂，通常空穴就處於價帶頂附近。

禁帶寬度：價帶頂與導帶底之間的能量差，就是所謂半導體的禁帶寬度。這就是產生本徵激發所需要的最小平均能量。

能隙（Bandgap energy gap）能帶隙，在固態物理學中泛指半導體或是絕緣體的價帶（valence band）頂端至傳導帶（conduction band）底端的能量差距。

能帶理論的發展

1900,Drude建立金屬自由電子氣體模型，解釋金屬的電導、熱導；1928，Sommerfeld引入Fermi-Dirac統計（量子），解釋電子的熱容量等。
固體的能帶理論的建立：1928，F. Bloch 應用量子理論研究固體的電子運動，提出Bloch定理，奠定了現代量子固體物理的基礎。1931年，A. H. Wilson 依據能帶理論，成功地解釋了金屬、絕緣體和半導體的差別（定性研究）。
1964, W. Kohn等建立密度泛函理論，藉助與計算機，能夠定量計算高分子、納米材料、介觀器件等。（精確計算）