量化研究（十一）：亞式期權（算術平均標的價）初探

02-08

====== 正文之前來點不是廢話的題外話 ======

又到年末，應酬聚會工作之類的又開始多起來，講的無非也就回憶當年勇展望未來時之類的話題。

想想自己做（不合格的）場外期權研究也快一年的時間了。當時找工作的時候也就想要是找不到期權相關的工作我就安分的去做個櫃員好了。最後也是想不到自己居然從事了量化領域中用工需求最小的pricing quant。

現在每天推導各種數學模型，旁人看來覺得有點不可思議想著你這都是什麼工作天天面對這一堆符號，自己卻找回了久違的學習數學的快樂，這種樂趣大概也就只有對數學感興趣的人才明白吧。

看多事情感覺上天早有安排，自己心中也常懷感恩。

又到校招時，希望各位最後都有個好的歸宿。

走到山窮處，坐看雲起時。

====== 題外話說完 ======

====== 以下是正文 ======

作為場外期權組的成員之一，除了歐式期權之外，經常接觸到一些比較特殊的需求，對於Exotic Options的研究也是重點工作之一。

而亞式期權，應該是場外期權領域裡，期權買賣雙方都比較青睞的一種Exotic。

之所以這麼說是由於，對於期權買方而言，相比起歐式，亞式的對沖難度要稍微小一點（然並卵，看看最近國內商品期貨的波動率）。對於期權賣方而言呢，期權費用要比歐式便宜。

今天就來說一下亞式期權。

一般我們說的亞式期權都是以平均價作為特徵的期權，根據均價作用的變數，可以將亞式期權分為兩大類：標的價平均或者執行價平均，執行價平均的亞式期權我沒研究過，不好亂說，下文主要是說標的價平均的亞式期權。

學過金融工程的朋友都知道，期權的期初價格都可以表示成期權期末Payoffs的期望的折現值，亞式期權的價格就可以表示成下式：

$V_{A}= e^{-rT}E[max(wS_{avg}-wK,0 )]$

其中期權類型為Call時w=1，期權類型為Put時w=-1。

根據均值計算方法的不同，亞式期權又可以分為幾何平均亞式期權和算術平均亞式期權。

幾何平均： $G=(prod_{i=1}^{n}S_{i} )^{frac{1}{n} }$

算術平均： $A=frac{1}{n}sum_{i=1}^{n}{S_{i} }$

簡單起見，我們就以兩期均價作為計算例子：

$Payoffs=max(K-frac{S_{i}+S_{j} }{2} )$

值得注意的是，當期權尚未運行到均價取樣點範圍時，亞式期權的期末支付如上式。當期權運行到只剩下一個均價取樣點的時候，亞式期權退化為普通的歐式期權：

$Payoffs=max(K-frac{S_{i}+S_{j} }{2} )=max((K-frac{S_{i} }{2})-frac{S_{j} }{2} )=max(K_{*}-frac{S_{j} }{2} )$

在標的資產價格服從GBM的假設下，由於n個標的價進行幾何平均後依然服從對數正態分布，因此幾何平均亞式期權是有閉解的。對於幾何平均亞式期權感興趣的朋友可以自行百度（推導過程還是挺有趣的）。

下文主要是討論算術平均下的亞式期權。

相比起幾何平均價，由於標的價格的算術平均價並不存在「簡單」的分布函數，因此，算術平均亞式期權並不存在閉解。

不過，服從對數正態分布的隨機變數之間的和式，可以近似看成對數正態分布。而且，在描述對數正態分布的性質時，只需要通過求得對數正態分布的期望（一階矩）和方差（二階矩）後，該對數正態分布的性質就大致可以得到很好的描述。因此學術上通常都是採用數值逼近的方法計算算術平均價下的亞式期權價格。

常見的算術平均亞式期權定價方法有Turnbull– Wakeman逼近法，Levy逼近法，Curran逼近法。

其中Turnbull – Wakeman逼近法和Levy逼近法較為類似，都是通過逼近算術平均價A(t)的一階矩和二階矩之後代入到BSM定價模型求得期權價格。Curran逼近法是通過將期望積分下的關於幾何分布的條件期望的積分分拆成兩部分，通過數值近似的方法求得期權價格。

（接下來如果來勁了就把Curran的推導更新在這裡，今天先放幾張圖。）

價格：亞式期權在波動率比較大的時候，要比同類型的歐式要貴。

Delta：執行價附近，亞式的delta比歐式delta要「陡」，也就是說，執行價附近亞式的gamma風險比較大。

事實上在波動率較小的時候，delta的差異也是集中在執行價附近。

Gamma：主要還是執行價附近的Gamma風險。

Theta：比歐式要小。

Vega：

（未完待續）

冼尼瑪

2016/09/02

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