Schwarzschild黑洞（2.1）：奇點與奇性

02-08

$xi$ 2.1奇點與奇性

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我們要談到的是Schwarzschild時空的奇性和奇點概念

我們前文提到

大多數天體，即使是中子星這樣的極端天體，也會滿足 $R/r_{s}$ ＞1

在大多數情況下甚至是 $R/r_{s}gg 1$

但在恆星內部燃料消耗殆盡時，引力作用將會使得恆星猛烈踏縮

如果剩餘質量依然超過中子星質量的上限（約為 $2M_{odot }$ ）

則意味著達到Oppenheimer極限

這裡不要疑惑，有的書籍提到的20 $M_{odot }$ 是最初的恆星質量，而此處的2 $M_{odot }$ 是燃燒殆盡的恆星

所以並不矛盾

與此類似的還有Chandrasekhar極限

1.4 $M_{odot }$ 和8 $M_{odot }$ 都是正確的估算值，只不過一個是前期一個是後期

接著上文，如果燃燒後的質量依然大於中子星的質量上限，則半徑很快會縮至小於 $r_{s}$ 的程度

使得Schwarzschild半徑暴露於真空中

此時的Schwarzschild線元也適用於 $r=r_{s}equiv 2M$ 的點

$ds^{2}=-left( 1-frac{2M}{r} ight)dt^{2}+left( 1-frac{2M}{r} ight)^{-1}dr^{2}+r^{2}left( d heta ^{2} +sin^{2} heta dvarphi ^{2} ight)$

可以看到

在該點

$left( 1-frac{2M}{r_{s} } ight)^{-1}$ 為無窮大

或者說是0為分母的數學無解，導致線元在 $r=2M$ 上失去意義

所以稱這個點為奇點

並且稱Schwarzschild線元在 $r=2M$ 處存在奇性

隨著恆星的坍縮，r會不斷減小，但 $r=0$ 時也會失去意義

所以 $r=0$ 是Schwarzschild線元的另一個奇點

在Schwarzschild的工作發表後不久，天體物理學家們就意識到了兩個奇點的存在，但並沒有意識到兩者的截然不同

$r=0$ 處的奇性非常離譜，甚至可以得出結論：時空曲率在r趨於零時趨於無限大

因此被稱為：物理奇性、時空奇性和真奇性

而 $r=2M$ 處的奇性只是坐標奇性，可以通過坐標變換消除

Lemaitre在1933年完成了消除工作，而Sir Edington在1924年的工作卻不幸被忽略。

參考資料:《微分幾何入門與廣義相對論》，梁燦彬先生著

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