番外——關於張量計算（Index notation）

02-08

由於之後的幾篇文章會用到大量的index notation形式的張量計算，所以在這裡做個簡要的介紹。Index notation初次接觸會很不習慣，但是熟悉了之後會發現確實能大大簡化張量計算書寫和計算過程。

首先從簡單的一階張量—向量說起。在一個以 ${hat{e_1},hat{e_2},hat{e_3}}$ 為底的三維空間坐標系中,我們可以將向量表示為：

$underline{v}=v_1hat{e_1}+v_2hat{e_2}+v_3hat{e_3}$ ，或者用求和公式表示為： $underline{v}=sum_{i=1}^{3}{v_ihat{e_i}}$

通過求和公式，已經能把之前很長的方程大大簡化了。但是愛因斯坦在大概100年前提出來寫求和符號也好煩啊，就不能把它也省了嗎。於是他想出了一個簡化的方法，後來也被稱為愛因斯坦求和約定(Summation Convention)。其主要內容是：當一個下標在單獨某項中出現了兩次，那麼我們可以省略求和符號，但依然對這單獨某項關於重複下標的所有可能值求和。我語文不好，這句話可能解釋的有點拗口，還是結合上面的向量例子來說明。首先單獨某項可以是任意多項的乘積，只要不出現加減之類的，我們都姑且把它當成是單獨項。在向量的例子中， $v_ihat{e_i}$ 就是一個單獨項，而且下標 $i$ 出現了兩次，因此我們可以省去求和符號，但仍然進行求和運算。即可以將向量表示為 $underline{v}=v_ihat{e_i}$ 。

現在我們可以繼續討論二階張量，一般用雙下劃線表示，如 $underline{underline{I}}$ 。在三維坐標系中，二階張量有9個分量。比如應力張量: $underline{underline{sigma}}=sigma_{11}hat{e_1}hat{e_1}+sigma_{12}hat{e_1}hat{e_2}+sigma_{13}hat{e_1}hat{e_3}+sigma_{21}hat{e_2}hat{e_1}+sigma_{22}hat{e_2}hat{e_2}+sigma_{23}hat{e_2}hat{e_3}+sigma_{31}hat{e_3}hat{e_1}+sigma_{32}hat{e_3}hat{e_2}+sigma_{33}hat{e_3}hat{e_3}$

如果向量方程的長度還能接受的話，那二階張量的長度就是災難了（我打了好久啊）。但是我們現在有了Summation Convention可以用。這樣就可以將其簡寫為：

$underline{underline{sigma}}=sigma_{ij}hat{e_i}hat{e_j}$

這裡乘積項中 $i$ 和 $j$ 各出現了兩次，所以都要進行求和，對於某一個 $i$ ， $j$ 有三項要求和，而 $i$ 本身又有三項求和，所以一共有3*3=9項。如果對這個過程不熟悉的，可以先寫出帶有求和符號的式子： $underline{underline{sigma}}=sum_{i=1}^{3}{sum_{j=1}^{3}{sigma_{ij}hat{e_i}hat{e_j}} }$ ，然後把求和符號去掉就行了。

運用Index notation時有一些重要的規則需要遵守。如果不注意會造成混亂。

規則1. 同一個下標不能在單獨某項中出現兩次以上。舉個例子， $a_{ii}b_{ij}$ 就是沒有意義的，因為 $i$ 出現了三次。

規則2. 方程的每一項所含的自由下標(free index)必須一致。Free index就是指沒有重複，不用求和的下標。舉個例子： $a_{iik}+b_{m}c_{mk}=d_nd_nd_k$ 。這個式子中，只有 $k$ 是free index，因為它在單項中沒有重複。而每一項都有 $k$ ，是一致的，所以成立，反之如果某一項缺少 $k$ ，那麼就不成立。

接下來我們引入一個很有用的量: Kronecker delta( $delta_{ij}$ )，它的定義為：

$delta_{ij}=1, hspace{.2in} ifhspace{.1in} i=j;$ $delta_{ij}=0, hspace{.2in} ifhspace{.1in} i e j;$

上述定義和單位向量的乘積是一致的。比如 $hat{e_i}cdothat{e_j}$ 在 $i=j$ 的情況下等於1，在 $i e j$ 的情況下等於0，所以我們有： $delta_{ij}=hat{e_i}cdothat{e_j}$ 。 $delta_{ij}$ 同樣是有9項，我們可以把它當成是一個二階張量的9個分量，寫成矩陣的形式就是單位矩陣 $I$ 。這個不難理解，因為單位矩陣是對角線上的項等於1，其他分量等於0。而對角線上的分量就是兩個下標相等的情況。趁熱問個tricky的問題: 那 $delta_{kk}$ 是多少呢？等於3，因為 $k$ 出現了兩次，根據summation convention,需要進行求和，即等於 $delta_{11}+delta_{22}+delta_{33}=3$ 。

Kronecker delta有個令人興奮的性質，舉個例子說: $a_idelta_{ij}=a_j$ 。語言敘述就是當某一項和Kronecker delta相乘時，如果它有和Kronecker delta相同的下標，那麼可以將這個下標改成delta的另一個下標然後去掉delta。在例子中， $a_i$ 和 $delta_{ij}$ 有相同的下標 $i$ ，所以可以把這個 $i$ 改成 $delta_{ij}$ 的另一個下標 $j$ ，然後去掉 $delta_{ij}$ ，就變成了 $a_j$ 。這個性質很好證明，只要按照求和展開就一目了然了，之後就可以無腦使用了。

現在終於可以用上述知識解決問題啦。首先從向量點乘開始。

$underline{a}cdotunderline{b}=a_ihat{e_i}cdot b_jhat{e_j}=a_ib_jdelta_{ij}=a_ib_i$

這裡要說明的是，由於要遵守上述的規則1，表示 $underline{b}$ 的時候必須要使用和 $underline{a}$ 不同的下標，比如 $j$ 。不然下標 $i$ 就重複出現四次了。

向量本身就不難算，所以上述例子還不能體現Index notation的優越性。下面我們來試試二階張量點乘向量，也可以看成是矩陣和向量相乘：

$underline{underline{sigma}}cdot underline{n}=sigma_{ij}hat{e_i}hat{e_j}cdot n_khat{e_k}=sigma_{ij}n_khat{e_i}delta_{jk}=sigma_{ij}n_jhat{e_i}$ 。

上式是traction的計算公式，應力張量和表面法向量的乘積，得到的是向量，通常我們把這個結果記做 $underline{t}=t_ihat{e_i}$ ，帶入上式得到 $sigma_{ij}n_j=t_i$ 。

下面就是我覺得index notation最有用的地方了，計算梯度和散度，偏微分。

首先我們引入梯度(gradient) $abla=frac{partial}{partial x_i}hat{e_i}=partial_ihat{e_i}$ ,注意這裡也用到了summation convention，其實是三項的和。比如對於標量的梯度： $abla u=partial_khat{e_k}u=u_{,k}hat{e_k}=frac{partial u}{partial x_1}hat{e_1} +frac{partial u}{partial x_2}hat{e_2} +frac{partial u}{partial x_3}hat{e_3}$ ，得到的是向量。這裡說明下一般會將 $frac{partial u}{partial x_i}$ 簡寫成 $u_{,i}$ 這種逗號的形式，同樣遵循上述所說的index notation的所有性質。對於向量的梯度： $ablaunderline{u}=partial_khat{e_k}u_ihat{e_i}=u_{i,k}hat{e_i}hat{e_k}$ 。可以看到得到的是二階張量。所以梯度永遠是將該項的階數升高1階。

再來看散度(divergence) $ablacdot$ ，多了個點乘。標量沒有散度。向量的散度為： $ablacdotunderline{u}=partial_khat{e_k}cdot u_ihat{e_i}=u_{i,k}delta_{ik}=u_{i,i}$ ，可以看到得到的是個標量。對於二階張量的散度： $ablacdotunderline{underline{u}}=partial_khat{e_k}cdot u_{ij}hat{e_i}hat{e_j}=u_{ij,k}delta_{ik}hat{e_j}=u_{ij,i}hat{e_j}$ ，結果是一個向量。所以散度是將該項的階數降1階。

作為練習可以嘗試計算Laplace operator: $abla^2f= ablacdot( abla f)=?$