地震力到底是怎麼算出來的？[Part.5]

02-08

今天我們正式要從一層平房向三層樓房進軍了。

同樣的，我們需要知道質量和剛度這兩個最基本的參數。

假設我們的三層樓房每一層的質量都一樣，剛度也都一樣。也就是說，每一層的柱子數量、粗細都一樣，並且還都跟我們原來的一層小房子一樣。

我們前面說過，地震作用大小的決定性因素是結構的自振周期。最大地震力與自身重力的比值是多少，直接跟自振周期的大小相關。所以，對於三層樓房來說，第一步就是確定它的自振周期。

對於一層房子來說，自振頻率直接由質量和剛度確定， $omega =sqrt{frac{k}{m} }$ 。對於三層房子來說，好像就沒有那麼簡單了，這裡面的質量怎麼取呢？剛度又該怎麼取值呢？

讓我們回顧一下我們是如何定義一層房子的「質量」和「剛度」。假設一個變形金剛在推房頂，讓房頂發生了1毫米的位移，此時變形金剛需要的推力是200千牛，這個使得房子發生單位位移的推力就叫做剛度。而變形金剛把房子推動了1毫米，總共有300噸的質量發生了1毫米的位移，所以我們的分析中質量取為300噸。

注意，我們這裡討論質量和剛度的前提，是房頂發生了1毫米的單位位移。對於一層房子來說，只有一個樓層，就只有這一種可能性，所以很好辦。

三層房子就複雜了，一共有三個樓層，每個樓層都可以獨立的移動，我們怎麼定義質量和剛度呢？應該讓哪個樓層發生1毫米的單位位移呢？

質量的概念比較容易理解，我們先從質量入手。

首先，我們看一層發生單位位移的情況，也就是上圖最左邊這種情況。請問這個時候有多少質量發生了移動，有多少質量沒有發生移動？

如果只有一層發生單位位移，那麼其實只有一層的300噸發生了移動，二層、三層的質量並沒有移動。也就是說，對於一層發生單位位移的這種情況來說，二層、三層的質量沒有跟著移動，相當於有效質量是0。

我們把這種情況的三個樓層的有效質量寫成一行，按一層、二層、三層的順序，也就是300噸、0、0。

同樣的，如果只有二層發生位移，那一層和三層的質量也不會移動，同樣寫成一行，0、300噸、0。

只有三層發生位移，一層和二層的質量不移動，這時候的情況是0、0、300噸。

然後，我們按照一層、二層、三層發生單位位移的順序，把這三行排列起來，組成一個三乘三的矩陣：

300 0 0

0 300 0

0 0 300

這個矩陣就叫做有效質量矩陣，什麼意思呢？比如說，第一行第一列代表一層發生單位位移時一層發生移動的質量，第二行第三列代表二層發生單位位移時三層發生移動的質量。

接下來就是剛度了，相信您也猜到了，剛度同樣也是一個三乘三的矩陣。

同樣的三種情況，假想我有三個獨立的變形金剛，擎天柱負責推第一層、大黃蜂負責推第二層、鐵皮負責推第三層，請問要想把房子推成這三種形狀，他們需要分別施加多大的推力呢？

第一種情況，只有第一層發生1毫米的位移，這時候負責一層擎天柱需要付出400千牛的推力，因為不僅僅需要把一層的柱子推彎，還得把二層的柱子也推彎。注意，這時候負責二層的大黃蜂並不只是看熱鬧，為了把二層保持在原來的位置，大黃蜂需要施加反方向的200千牛推力，這樣二層才不會跟著一層一起移動。而因為大黃蜂已經把二層頂住了，三層就不會移動了，所以負責三層的鐵皮邊兒上看著就行了。

同樣，第二種情況，大黃蜂需要400千牛才能把二層推動1毫米。而為了防止一層和三層跟著二層一起移動，擎天柱和鐵皮都需要付出反方向的200千牛，保證把一層和三層固定在原來的位置。

第三種情況，因為三層就是頂層了，再往上就沒有柱子了，所以鐵皮只需要付出200千牛的推力。為了防止二層跟著一塊兒動，大黃蜂需要反方向200千牛把二層頂住。因為大黃蜂已經把二層固定了，所以負責一層的擎天柱就可以歇一歇了。

跟質量一樣，我們把這三種情況下三個樓層的受力寫成矩陣的形式：

400 -200 0

-200 400 -200

0 -200 200

這也就是我們這個三層房子的剛度矩陣。

對於一層房子，質量是300000千克，剛度是200千牛每毫米。而對於三層房子，質量和剛度是下面的矩陣：

知道了質量和剛度，我們就可以求自振頻率了。對於一層房子， $omega =sqrt{frac{k}{m} }$ ，事實上，我們需要找滿足 $k-omega ^2m=0$ 這個等式的ω值。對於三層房子，雖然質量 m 和剛度 k 都變成矩陣，但意思都一樣，我們仍然需要尋找滿足條件的 ω 值。

事實上，滿足這個等式的 ω 值不是一個，而是三個。我們可以挨個驗證一下。

事實上，這是求兩個矩陣的特徵值和特徵向量的過程。特徵值就是自振頻率的平方，而特徵向量有什麼用，我們會在後面繼續提及。

有了自振頻率，我們就可以求自振周期了。對應這三個自振頻率，我們也有三個自振周期值。

最最簡單的理解，我們可以認為第一周期可以近似代表房子的特性。也就是說，我們這個三層房子的自振周期可以近似看作0.547秒。而我們一層房子的自振周期是0.243秒，注意到我們三層房子的周期大概是一層房子的2.25倍，這也就是我們在第三篇里提到的房子的周期可以近似認為與層數或者高度成正比。

有了質量矩陣，有了剛度矩陣，有了第一周期，我們就可以確定這個三層房子的地震力了。具體是什麼方法呢？跟一層房子有什麼區別呢？且待我們下回書里說端詳。

題圖來源：File:Reaction wall.JPG （可以直觀的看到千斤頂推房子...）