古代的中國人用什麼符號和標記研究數學？

02-07

你問的是怎麼解方程設未知數的問題吧？

以下引自數學與系統科學研究院李文林《中國古代數學發展及其影響》

「朱世傑的《四元玉鑒》(1303年)一書中涉及的高次方程達到了4個未知數。朱世傑用「四元術」來解這些方程。「四元術」首先是以「天」、「地」、「人」、「物」來表示不同的未知數，同時建立起方程式，然後用順序消元的一般方法解出方程。」

「在宋元時期的數學著作中，已出現了用特定的漢字作為未知數符號並進而建立方程的系統努力。這就是以李冶為代表的「天元術」和以朱世傑為代表的「四元術」。所謂「天元術」，首先是「立天元一為某某」，這相當於「設為某某」，「天元一」就表示未知數，然後在籌算盤上布列「天元式」，即一元方程式。該方法被推廣到多個未知數情形，就是前面提到的朱世傑的「四元術」。因此，用天元術和四元術列方程的方法，與現代代數中的列方程法已相類似。」

附鏈接中國古代數學發展及其影響

按照我的理解，我覺得對題目的解答可以分為計數系統和代數的表示方法。代數的表示方法 @姜元昊已經說了，按照1303年朱世傑的《四元玉鑒》中提到的，四元即指天、地、人、物，這本書標誌著中國代數發展的高峰，其中處理過高達14次的代數方程。這方面應該說同時代的中國做的比西方要好，15世紀雷格蒙塔努斯還稱要求的數字為「東西」。

而計數系統有兩種，不同於古巴比倫的六十進位，中國人的計算一般是十進位的。從很早以前（按照維基的說法算籌起源於商朝的占卜），就有兩種計數方法，一種方法是用乘法表示的，另一種就是籌數系統。前一種方法中，有一些截然不同的記號表示從1到10，還有一些額外的記號表示10的冪，而在文字形式中，奇數位上的數字（從右至左）被乘以它們所代表的次冪。比如，678這個數字寫作：六後面緊跟著100的符號，然後是7緊跟著代表10的符號，最後是代表8的符號。（抱歉不知道這種計數方法具體叫什麼名字，也沒有圖片）

算籌就見得比較多，嚴格來說籌數系統是百進位的，下圖是數字0到9（南宋後，來自維基）

下面一排一般是用來表示10到90的，不過在楊輝三角（帕斯卡爾三角）中也的確用橫式表示

題主感受一下（這裡第八排左邊那個35寫錯了）。

至於為什麼要寫成百進位，原因還是很明顯的，大家可以寫一下直式的算籌正數......

所以說數字和乘法表雖然都是用文字寫出來的，但計算實際上是用籌數在算板上進行的，這樣的話計算也沒那麼困難了吧。==========================

下面隨便說幾句，大概題主覺得西方不是用文字描述數學的，其實也不然，在文藝復興以前西方也一直用文字而不是像現代的代數方法，甚至都不是用十進位= =

古希臘也有兩種計數方法，一種稱為雅典計數法（希羅狄安計數法），另一種稱為愛奧尼亞計數法（字母計數法），相當繁瑣，有興趣的可以自己去查一下。

然後寫一些現代數學符號的發明者

「=」羅伯特雷克德《礪智石》英國

「+」「-」約翰魏德曼《商業算數》德國

「小數點分隔符」「logarithm」（對數）納皮爾蘇格蘭

「參數」韋達法國以母音字母代表未知量，輔音字母代表已知量

「&>」 "&<"托馬斯哈利奧特英國

「x」威廉奧特雷德好像是英國

「∞」約翰沃利斯《無窮算數》英國

三角函數幾個符號似乎是各個不同的時期整合在一起的，我就寫一個sin吧，這個故事比較有趣。正弦在印度讀作jiba（......），然後被阿拉伯拿過去用了，西歐（主要是西班牙）有一段時期在翻譯阿拉伯的作品，其中有個翻譯家叫羅伯特，他把jiba（一般縮寫為jb）誤當做了jaib，這個在阿拉伯語中好像是海岸的意思，然後他就用拉丁文里的sinus來表示正弦了= =

最後，以上內容來源於我看的卡爾.B.博耶所著《數學史》，說實話這本書寫的很無聊，還有些錯誤。。。我也是稀里糊塗地看下來的，以上整理的內容可能有錯誤，望指正。

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好緊張，不知道被哪個大號點贊同了，要是我哪裡寫錯了怎麼辦。。。。

三角函數術語來源我查了下果殼這裡有關於各個三角函數術語的解釋，比我寫的好多了~

為上邊的補張圖，當然是近代的教學，並非傳統的數學研究。

「只見當前一張長桌，上面放著七盞油燈，排成天罡北斗之形。地下蹲著一個頭髮花白的女子，身披麻衫，凝目瞧著地下一根根的無數竹片，顯然正自潛心思索，雖聽得有人進來，卻不抬頭。郭靖輕輕將黃蓉放在一張椅上，燈光下見她臉色憔悴，全無血色，心中甚是憐惜，欲待開口討碗湯水，但見那老婦全神貫注，生怕打斷了她的思路，一時不敢開口。黃蓉坐了片刻，精神稍復，見地下那些竹片都是長約四寸，闊約二分，知是計數用的運算元。再看那些運算元排成商、實、法、借算四行，暗點運算元數目，知她正在計算五萬五千二百二十五的平方根，這時「商」位上已記算到二百三十，但見那老婦撥弄運算元，正待算那第三位數字。黃蓉脫口道：「五！二百三十五！」那老婦吃了一驚，抬起頭來，一雙眸子精光閃閃，向黃蓉怒目而視，隨即又低頭撥弄運算元。這一抬頭，郭、黃二人見她容色清麗，不過四十左右年紀，想是思慮過度，是以鬢邊早見華髮。那女子搬弄了一會，果然算出是「五」，抬頭又向黃蓉望了一眼，臉上驚訝的神色迅即消去，又見怒容，似乎是說：「原來是個小姑娘。你不過湊巧猜中，何足為奇？別在這裡打擾我的正事。」順手將「二百三十五」五字記在紙上，又計下一道算題。這次是求三千四百零一萬二千二百二十四的立方根，她剛將運算元排為商、實、方法、廉法、隅、下法六行，算到一個「三」，黃蓉輕輕道：「三百二十四。」那女子「哼」了一聲，哪裡肯信？布算良久，約一盞茶時分，方始算出，果然是三百二十四。那女子伸腰站起，但見她額頭滿布皺紋，面頰卻如凝脂，一張臉以眼為界，上半老，下半少，卻似相差了二十多歲年紀。她雙目直瞪黃蓉，忽然手指內室，說道：「跟我來。」拿起一盞油燈，走了進去。郭靖扶著黃蓉跟著過去，只見那內室牆壁圍成圓形，地下滿鋪細沙，沙上畫著許多橫直符號和圓圈，又寫著些「太」、「天元」、「地元」、「人元」、「物元」等字。郭靖看得不知所云，生怕落足踏壞了沙上符字，站在門口，不敢入內。黃蓉自幼受父親教導，頗精曆數之術，見到地下符字，知道儘是些術數中的難題，那是算經中的「天元之術」，雖然甚是繁複，但只要一明其法，也無甚難處（按：即今日代數中多元多次方程式，我國古代算經中早記其法，天、地、人、物四字即西方代數中Ｘ、Ｙ、Ｚ、Ｗ四未知數）。

　　黃蓉從腰間抽出竹棒，倚在郭靖身上，隨想隨在沙上書寫，片刻之間，將沙上所列的七八道算題盡數解開。這些算題那女子苦思數月，未得其解，至此不由得驚訝異常，呆了半晌，忽問：「你是人嗎？」黃蓉微微一笑，道：「天元四元之術，何足道哉？算經中共有一十九元，『人』之上是仙，明、霄、漢、壘、層、高、上、天，『人』之下是地、下、低、減、落、逝、泉、暗、鬼。算到第十九元，方才有點不易罷啦！」那女子沮喪失色，身子搖了幾搖，突然一交跌在細沙之中，雙手捧頭，苦苦思索，過了一會，忽然抬起頭來，臉有喜色，道：「你的演算法自然精我百倍，可是我問你：將一至九這九個數字排成三列，不論縱橫斜角，每三字相加都是十五，如何排法？」黃蓉心想：「我爹爹經營桃花島，五行生剋之變，何等精奧？這九宮之法是桃花島陣圖的根基，豈有不知之理？」當下低聲誦道：「九宮之義，法以靈龜，二四為肩，六八為足，左三右七，戴九履一，五居中央。」邊說邊畫，在沙上畫了一個九宮之圖。那女子面如死灰，嘆道：「只道這是我獨創的秘法，原來早有歌訣傳世。」黃蓉笑道：「不但九宮，即使四四圖，五五圖，以至百子圖，亦不足為奇。就說四四圖罷，以十六字依次作四行排列，先以四角對換，一換十六，四換十三，後以內四角對換，六換十一，七換十。這般橫直上下斜角相加，皆是三十四。」那女子依法而畫，果然絲毫不錯。黃蓉道：「那九宮每宮又可化為一個八卦，八九七十二數，以從一至七十二之數，環繞九宮成圈，每圈八字，交界之處又有四圈，一共一十三圈，每圈數字相加，均為二百九十二。這洛書之圖變化神妙如此，諒你也不知曉。」舉手之間，又將七十二數的九宮八卦圖在沙上畫了出來。」

——摘自《射鵰英雄傳》第二十九回

讀《數學史概論》，裡面有講到中世紀的中國數學，著重演算法的概括，所謂演算法，不只是單純的計算，而是為解決一類實際或者科學問題而概括出來帶一般性的計算方法。中國數學從公元前後至公元14世紀，共經歷三個高峰，分別是兩漢時期，魏晉南北朝時期和宋元時期，宋元時期達到高峰。

兩漢時期的數學，主要沿著實用和演算法的方向發展。

戰國時期的諸子百家中的墨家和名家，著作含有理論數學的萌芽，如《墨經》中討論了某些形式邏輯的法則，在此基礎上給了一系列的數學概念的抽象定義，比如，點：端，體之無後而最前者也；直線，值，參也；圓，圜，一中同長也。等等十七條之多，同時也涉及到了有窮和無窮。

《周髀算經》是現存我國古代數學中最早的一部，該著作實際上是從數學上討論了「蓋天說」的數學模型，反應了中國古代數學和天文學的密切聯繫。它的主要成就是分數運算，勾股定理及其在天文學中的應用，以勾股定理最出名（勾三股四玄五），還給出了日高公式。

《九章算術》是中國古典數學最重要的著作，問題採集形式，全書246個問題，分成九章，依次是方田，粟米，衰分，少廣，商功，均輸，盈不足，方程，勾股。成就來說：

一、算數方面，分為分數四則運演算法則，「方田」章給出分數的完整加減乘除以及通分約分法則，其中「約分術」給出分子分母求最大公約數的「更相減損」法與歐幾里得的《原本》里給出的方法是一致的。還有比例演算法（粟米，衰分，均輸），提出今有術作為演算法，最後還有盈不足法（實際上是線性插值）。

二、代數方面。有方程術（線性聯立方程組的解法），正負術（負數引進，以及正負數的加減運演算法則，最後是開方術(減跟變換法。

三、幾何方面。方田，討論面積計算，商功討論體積計算，勾股是關於勾股定理的應用。都具有很明顯的實際背景。

魏晉時期代表人物是劉徽和祖沖之。

劉徽的割圓術和體積理論，

祖沖之，球體積推導和圓周率的計算，代表作《綴術》

然後就是唐代的「算經十書」

《孫子算經》中的「物不知數」相當於求解一次同餘組，

《張邱建算經》的「白雞問題」相當於解不定方程組，

《緝古算經》是世界上最早討論三次方程代數解放的著作。

宋元數學最突出的成就是高次方程數值求解。

賈憲三角與增乘開方法

秦九韶的「正負開方術」，以及「中國剩餘定理」

內插法，垛積術。

宋元數學發展中最深刻的動向是代數符號化的嘗試，就是「天元術（李冶）」和「四元數（朱世傑）」

中國傳統數學本身使用的籌算系統中的十進位計數制是對世界文明的貢獻，但本身有很大的局限性。

——以上均來自於《數學史概論》（李文林）

天干地支，圖。

想了一下字母的作用無非就是變數和算符。
變數，中國古代早早就能解方程了，他們把設未知數叫「立x元為xx」。算符，貌似祖沖之時代可以用小木棍開高次方根…（簡直無法想像），後來又發明了算盤，三角函數等也是都有的（手機，沒仔細查引進時間）
另外：我當初看《青銅時代》時看到對古代數學的描寫時差點笑噴了

沒有字母，用漢字。。。覺得這個答案太切題了。當然，看看姜元昊的答案長知識，我去贊一下

你問的是怎麼解方程設未知數的問題吧？

以下引自數學與系統科學研究院李文林《中國古代數學發展及其影響》

附鏈接中國古代數學發展及其影響

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我是最高票答案的作者，這個答案是最高票答案。但是我原來的號被知乎停用了，用新號重新發一遍。

勾三股四玄五，可想而知，用漢字也可以撒

我記得有一個工具是「算籌」或者叫「算木」吧。http://zh.m.wikipedia.org/wiki/算籌

小時候讀科普讀物說祖沖之算圓周率就是用的算籌（不知道是不是真的）。