自旋與相對論粒子

02-07

相對論

所謂相對論性粒子，是指滿足龐加萊對稱性的粒子。龐加萊對稱性包含時間、空間平移對稱性與洛倫茲對稱性。龐加萊代數的生成元為： ${P^mu, J^{mu u}}, quad mu, u =0,1,2,3$ ，一般又記作 ${H, vec P, vec K, vec J}$ ，兩者之間的關係是： $H = P^0, J^a = frac{1}{2}epsilon^{abc}J^{bc}, K^a = J^{0a}, quad (a=1,2,3)$ 。其物理含義是，

$H$ ：哈密頓量
$vec P$ ：動量
$vec K$ ：推動生成元
$vec J$ ：角動量

當然，這些算符的獨立線性組合也是完全合理的生成元。所有這些算符在非相對論量子力學中也存在。唯一的區別在於算符之間的對易關係。

$egin{array}{lc|cl} ext{相對論} &&& ext{非相對論} \ [H, P^a] = 0, &&& [H, P^a] = 0, \ [H, J^a] = 0, &&& [H, J^a] = 0, \ [H, K^a] = i P^a, &&& [H, K^a] = i P^a, \ [P^a, P^b] = 0, &&& [P^a, P^b] = 0, \ [P^a, J^b] = -iepsilon^{abc}P^c, &&&[P^a, J^b] = -iepsilon^{abc}P^c,\ color{red}{[P^a, K^b] = iH delta^{ab}},&&& color{red}{[P^a, K^b] = iMdelta^{ab}},\ [J^a, J^b] = i epsilon^{abc}J^c, &&& [J^a, J^b] = i epsilon^{abc}J^c, \ [J^a, K^b] = iepsilon^{abc}K^c, &&& [J^a, K^b] = iepsilon^{abc}K^c,\ color{green}{[K^a, K^b] = -i epsilon^{abc}J^c}, &&&color{green}{[K^a, K^b] = 0}. end{array}$

其中， $M$ 是粒子質量。相對論對易關係可以歸納為：

$[P^mu, P^ u] = 0, [P^mu, J^{alphaeta} ] = i g^{mualpha}P^eta - i g^{mueta}P^alpha, \ [J^{mu u}, J^{alphaeta}] = -i(g^{mualpha}J^{ ueta} - g^{mueta}J^{ ualpha} + g^{ ualpha}J^{mueta} - g^{ ueta}J^{mualpha} )$

我們需要從這些代數關係中證明，相對論粒子有自旋，並且自旋是量子化的，並且其總自旋不隨著參考系改變而改變。

在考慮這個問題之前，首先引入泡利-魯班斯基算符： $W^mu = frac{1}{2}varepsilon^{mu u hosigma}P_ u J_{ hosigma}$ 。該算符滿足：

$P_mu W^mu = 0$ ；
$[W^mu, P^ u] = 0$ ；
$[W^mu, W^ u] = -i varepsilon^{mu u hosigma} W_ ho P_sigma$ ；

$W$ 的分量寫作，

$W^0 = vec Pcdot vec J$ ， $vec W = P^0 vec J - vec K imesvec P$

粒子

魏格納認為，粒子是龐加萊代數的不可約表示。不可約表示有一系列優點，特別是喀斯米爾算符正比於單位算符。龐加萊代數有兩個喀斯米爾算符，分別是

$P^2 = P_mu P^mu$ ， $W^2 = W_mu W^mu$

作用在不可約表示上時，這兩個算符給出兩個洛倫茲標量來：

$egin{split} & P^2 |p, s angle = m^2 |p, s angle \ & W^2|p, s angle = -m^2 s(s+1)|p, s angle end{split}$

這裡我們將兩個標量分別標記為 $m^2, -m^2 s(s+1)$ 。這樣選取是為了符合這些量的物理意義。例如， $P^2$ 的本徵值是不變質量；而後面會提到 $W^2$ 正比於自旋平方算符，因此其本徵值正比於自旋平方算符的本徵值 $s(s+1)$ —— 其中 $s$ 是總自旋。

上面，我們已經用兩個量子數標記粒子作為不可約表示了。一般來說，粒子可以用一系列兩兩對易的算符來標記 —— 稱作自洽算符集。龐加萊代數給我們10個生成元。我們可以通過其線性組合與乘積構造更多的算符（例如泡利-魯班斯基算符）。其中最大的自洽算符集應有6個算符，比較方便的一個組合是：

${P_mu, W^2, W_0}$

其中， $P_mu$ 的本徵值是四動量， $W^2$ 的本徵值是自旋， $W_0 = vec Pcdot vec J$ 的本徵值正比於角動量在動量上的投影，又叫旋度。因此，最一般的相對論性粒子可以標記為：

$egin{split} & P^mu |p, s, lambda angle = p^mu |p, s, lambda angle \ & W^2|p, s, lambda angle = -m^2 s(s+1)|p, s, lambda angle \ & W^0|p, s, lambda angle = lambda |vec p| |p, s, lambda angle end{split}$

當然，自洽算符集不只這一種選取方式。例如，我們也可以選擇 ${P_mu, W^2, W_3}$ 作為一組自洽算符集。不同選取方式找到的不可約表示略有不同。它們之間相差一個相似變換。在物理上看，有些相似變換描述完全相同的物理體系 —— 因為態矢量有個不確定的相因子；有些則是不同的物理體系。例如，粒子的自旋投影選取在 $x$ 方向或 $z$ 方向在物理上是不同的。最終，這些物理上不同的不可約表示相差一個轉動。

自旋

上面遺留的一個問題是 $W^2$ 的取值。這關係到相對論性粒子自旋的存在性。

在粒子質心參考系中， $vec J$ 與自旋是相同的。而在一般情況下，即粒子運動的時候，需要將質心運動扣除。在非相對論中，這可以通過定義質心角動量（又叫做軌道角動量）： $vec S = vec J - vec X imes vec P$ ，其中 $vec X$ 是質心位置算符。在相對論量子力學中，位置算符是不存在的 —— 或者說，引入位置算符會帶來很多矛盾。另外， $vec S^2$ 是一個轉動不變數，但不一定是一個洛倫茲不變數。若想將其推廣為四維矢量 $S^mu$ ，面臨的問題是如何讓該四維矢量的四個分量之間滿足恰當的李代數，以給出角動量量子化 —— 傳統上，角動量量子化來自於 $mathfrak{su}_2$ 。

假如我們找到一個四維矢量 $mathbb S^mu$ ，它在質心繫中的退化到 $(0, vec J)$ ，這樣以來我們可以通過洛倫茲推動將態矢量變換到質心系，具體而言：

$langle p, s, lambda| (0, vec{{S}}) | p, s, lambda angle = langle p_ ext{cm}, s, lambda| mathbb S^mu | p_ ext{cm}, s, lambda angle = langle p_ ext{cm}, s, lambda| (0, vec J) | p_ ext{cm}, s, lambda angle$

注意到，

$langle p_ ext{cm}, s, lambda| mathbb S^mu | p_ ext{cm}, s, lambda angle = langle p, s, lambda| U^dagger(L_p) mathbb S^mu U(L_p) | p, s, lambda angle$

這裡， $L_p$ 表示一個洛倫茲推動，它將 $p$ 變換作 $p_ ext{cm}$ ： $L_pcdot p = p_ ext{cm}$ 。因此，我們可以定義：

$(0, vec S) = U^dagger(L_p)mathbb S^mu U(L_p) = L_pcdot mathbb S$ 。如果粒子有質量則一定可以這樣做。實際上，可以證明， $W^mu$ 滿足這個條件。選取標準的洛倫茲推動，可以定義自旋算符為：

$vec S = frac{1}{M}ig( vec W - frac{vec P W^0}{P^0+M}ig)$

這裡， $M = sqrt{P^2}$ 是質量算符。

可以驗證， $vec S$ 的三個分量滿足角動量代數，同時 $vec S^2 = - W^2/M^2$ 是一個洛倫茲不變數。它的本徵值已經記為 $s(s+1)$ 。

不過，洛倫茲推動的選取是不唯一的。若兩個洛倫茲變換 $L, L$ 都可以將 $p$ 變換為 $p_ ext{cm}$ ，那麼它們之間滿足： $L^{-1}cdot L$ 是一個轉動。

魏格納表示

有了粒子以後，我們希望能找到龐加萊變換的具體的表示。具體地講，需要知道

$U(Lambda ,a) |p, s, lambda angle = ?$

這裡遵循物理的習慣，將龐加萊群元記作 $(Lambda, a)$ ，其中， $Lambda$ 是洛倫茲表示， $a$ 是平移。在這個變換下， $x^mu o Lambda^mu_{; u} x^ u + a^mu$ 或 $x o Lambda cdot x + a$ 。 $U(Lambda, a)$ 於是表示該群元的一個幺正表示： $U(Lambda, a)U^dagger(Lambda, a) = 1$ 。

首先，平移是容易的： $U(0, a) |p angle = e^{i pcdot a} |p angle$ ；

其次，我們知道，變換之後的形式應為 $U(Lambda, 0) |p, s angle propto |Lambda cdot p, s angle$ ；

類似於自旋算符的構造，魏格納首先將粒子變換到質心系：

$|p, s, lambda angle = U(L_p) |p_ ext{c}, s, lambda angle$

其次做洛倫茲變換：

$egin{split} U(Lambda)|p, s, lambda angle =,& U(Lambdacdot L_p)|p_ ext{c}, s, lambda angle \ =,& U(L_{Lambdacdot p}) U^dagger(L_{Lambdacdot p}) U(Lambdacdot L_p)|p_ ext{c}, s, lambda angle \ end{split}$

第二步插入了一個單位算符。不難證明，變換 $W(Lambda, p) = L^{-1}_{Lambdacdot p} cdot Lambdacdot L_p$ 保持 $p_c$ 不變。也就是說， $W$ 屬於洛倫滋群的子群，它是 $p_c$ 的穩定子群。由於W保持 $p_c$ 不變，它本質上是 $|p_c, s, lambda angle$ 做了轉動。將其表示定義為： $U(W)|p_c, s, lambda angle = sum_{lambda}D_{lambdalambda}(W)|p_c, s, lambda)$ ，那麼，洛倫茲變換的表示應為：

$U(lambda)|p, s, lambda angle = sum_{lambda}D_{lambda,lambda}^{(s)}(W(Lambda, p))|Lambdacdot p, s, lambda angle.$

這樣一來，洛倫茲變換的表示就化簡為了其轉動子群的表示，上面已經採用了D矩陣來寫出後者的表示。這種方法叫做誘導表示，數學上可以更加嚴格、緊湊的表示出來。這裡採用了物理學家的方式。從這個構造也不難看出，這跟自旋算符的構造如出一轍，本質上是做參考系變換。