分形學之父：十個反傳統的金融常識

02-07

本文內容源於曼德爾布羅特（Benoit Mandelbrot）與赫德森（Richard Hudson）的《The (Mis)Behavior of Markets: A Fractal View of Risk, Ruin and Reward》一書。

曼德爾布羅特是當代著名的數學家，現在十分時髦的分形概念就是由他在著名論文《英國海岸線到底有多長？》一文中提出的，我們在風險小史系列中專門寫過一章他的內容，有興趣的少年可以翻舊文看看。所謂分形，可以簡單理解為一個物體由多個部分構成，而每個部分的形態實際上與整體非常近似，即微觀和宏觀之間的差異是由分析的尺度造成的。而曼德爾布羅特實際上也是一名著名的金融學家，他花過很多時間分析棉花期貨的價格，並且依此提出了許多與傳統金融理論認知相違背的見解，正如他在書中所說的那樣「很多經濟學和金融領域被認為正統的觀點，其實都經不住進一步的檢驗」，為此他提出了十個與經典金融理念相悖的觀點，並稱之為異端（heresy），在他看來，這些異端並非是抽象的理論，而是他觀察到的金融市場的現實，希望能對各位讀者思考市場提供幫助。本文總結自前述書籍的相關章節，為精鍊內容，一些段落有所節選，但不影響作者原意，版權和解釋權歸原作者所有。

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市場也是一場湍流

當我（編者註：本文中我，均指曼德爾布羅特）在40年前開始研究湍流的時候，同時還在哈佛參與棉花價格和尼羅河的研究。起因在於有一門課中，研究人員在一艘潛艇上安裝了一個記錄裝置，並用它在普吉特灣（Puget Sound）的各式水流中記錄湍流的數據。在一次訪問中，我有幸接觸到了這些數據（主要是一些錄音），雖然這些錄音可以播放，但是頻率範圍太大，超出了聽力的範圍。我認為我們可以通過加快或放慢磁帶的播放速度來解決這個問題，通過分析高低音片段之間的相對比例，就會發現在爆發和停頓之間的湍流比例，實際潛艇並非穿過毫無規律的快速和慢速水流，相反這是一個複雜的整體攪動和急流模型，從開始到結束的湍流之間都是相互關聯的，並且這樣的關聯在很大的時間和空間尺度上都有效。

這個經歷成為我對金融市場理解的基礎，因為價格的波動軌跡與湍流一樣清晰可見，在價格圖中，那些存在動蕩（turbulence）的部分可以依據比例回歸整體。這其中有一個長期的依賴性的軌跡，當前的事件可以影響到每一個地方以及久遠的未來，而這帶來的波動遠遠超過鍾型正態曲線的預期之外，這種變化隨處集聚，而這個系統也處於從一種價格向另一種價格跳躍的非連續狀態，我們只能大致描繪這其中的數學規則。

但是為什麼市場會如同湍流一樣呢？你可以想像一個連鎖反應：氣候影響農作物的產出，而產出會影響價格；自然資源的分布會影響供給，而這也會影響價格。經濟學中因果分析的精密程度並不令人滿意，如果我們必須為每一個經濟學的數據找一個故事來解釋，那麼大部分故事都會似是而非，存在偏頗。

而與真正的湍流一樣，我們身邊的市場也是環環相扣，存在長期的依賴性。比如在瑞典，大公司之間在直接或間接的做生意，Volvo會做一些事情影響Saab，比如通過發布新車型搶奪市場份額，而Saab也會反過來推出更好的車型，比如推出衛星定位系統，這時Ericsson就獲得了更多的定位系統訂單，如此瑞典的經濟就運轉了起來，並逐漸影響到鄰國直至全球，這樣的影響應該是可測並且逐漸變弱的。於是全球經濟就是一間滿是鏡子的房間，每家公司的信號在波及全球時不斷傳遞、扭曲和削弱，但是它要變得弱到不顯著可能需要數月、數年乃至幾十年時間，這就是經濟中的長期依賴性：每件事都對其他事有反應，不管這件事多麼微弱或者在多久之前。

我傾向於忽略這個觀點，如果你是個司機，那麼你不需要知道汽車如何運轉，同樣作為投資者你可能也不需要知道證券為什麼會這樣表現。經濟學傾向於讓理論領先於證據，在金融研究進一步發展之前，對於為什麼和怎麼樣這兩個問題，我們還是需要更多的依靠想像來解讀。

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市場的風險遠超標準理論

湍流當然是危險的。水的壓力和速度會突然的變動，非常難以預測和預防，我們很難通過工程化的方法獲利，而價格平均水平的變化可能也是如此。傳統的金融學忽視這個問題，他們假定金融系統是線性、連續和理性的，這種想法把經濟學家們束縛於邏輯的各個節點之上。

比如著名的股權溢價之謎（Equity Premium Puzzle），這是一個持續至今的未解之謎，平均來看，為什麼股票投資會給投資者帶來更高的收益呢？從數據中觀察，在20世紀很長的時間裡，股票提供了非常大的溢價，比預計更安全的美國國債收益高出很多，同溢價用慣的通脹調整估計值則在4.1%到8.4%之間，傳統理論無法解釋這種現象。他們認為只有兩種事情會抬高股價：一種是市場風險太大，否則人們不會去投資；另一種其實是人們害怕風險太大，否則大家也不會去投資。在研究這個問題的時候，經濟學家們用真實市場的波動性來衡量風險，也就是對正態曲線標準差進行數量化，然後通過調查評估衡量人們對風險的理解，在計算中他們得出結論，股票的風險溢價不應該超過1%。

這就是股權溢價問題剛剛出現時整個經濟界的觀點。但是這些研究都忽略了一個重點：他們假定平均的股市利潤對投資者會產生影響，可實際上，發揮主要作用的是極端的利潤和損失。比如讓大家的本金受損超過三成的極端年份，類似2002年，就足以嚇跑哪怕是最勇敢的投資者。而之前的研究還假設正態曲線是衡量風險的現實準繩，但是真實價格的變化比高斯標準下更為劇烈。在這樣的觀點下，股權溢價並不是一個問題，真正的投資者的意見比經濟學家更靠譜：市場的風險比標準模型顯示的風險更大。為此他們冒了更大的風險，自然也就要求更高的回報。

同樣地，人們本能意識到市場非常有風險，也可以解釋為什麼世界上有這麼多財富以現金的形式保存。比如資產配置理論會建議你在按一定的比例配置現金、債券和股票，其中債券和股票的配置比例都比現金高，但是根據最近OECD的一項研究顯示，大部分人並不認同這種建議，日本家庭的金融資產中有53%是現金（或者存款），歐洲家庭則保持28%的現金和13%的股票。與經紀商不同，大部分投資者不關心平均收益，他們更看重對極端劇變的預防。當然也許民間的智慧是不正確的，但是這不是我們忽視它的理由。

我們最核心的擔憂是破產。其實破產是風險分析中被研究最多的詞語，我們用它來度量某種情況，比如你股票組合的規模、準備金賬戶或者保險公司的盈虧低於某個特定的預期值的情況，我們可以計算這些情況發生的概率，並用計算機進行模擬。就保險公司而言，在沒有賠付的時候，所有的保險公司都會欣欣向榮，但是一旦賠付出現，每個公司的收益都會迅速下降，一旦低於某個臨界值，公司就破產了。根據標準的金融模型，股票、債券或者其他金融資產的價格在鐘形曲線上擺動，你最終破產的概率大概是10的-20次方，這個概率更接近於隕石打爆了你家的房子，而不是你在金融市場中破產。如果價格變化足夠劇烈，就像棉花市場的歷史數據那樣，你破產的概率會非常大，差不多在1/10到1/30之間，考慮到歷史中發生的無數實例，這個估計恐怕更接近現實。

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巨大的波動總發生在小的時間區間

集聚效應（concentration）是生活的常態，比如從世界的黃金礦脈，你就可以發現它們往往是帶狀分布的，這是真實的地殼運動的結果。而這個概念對商業來說也很關鍵，尤其是保險，最近一項關於颶風損失的研究發現，90%的保險索賠來自於5%的區域。

而金融市場的波動也是集中的。新的事件，比如公司利潤發布、宏觀數據報告、央行聲明都會驅動價格，傳統經濟學家將其模擬為隨著時間展開的一個長期隨機事件序列，在這些事件存在量和質的變化時，我們也假設這樣的變化符合正態分布，所以所有的事件都沒有獨特的重要性。這意味著什麼呢？這意味著我們所有人都預測到了恐怖分子襲擊世貿大樓。大的新聞並不是小新聞的集聚，它們會引起更大的市場反應，並且這樣的反應會集中在更短的時期，你可以觀察一下911之後的紐約股市。

1986到2003年的美元對日元都呈現下跌的狀態，但是接近一半的下跌都發生在10個交易日內，儘管這個區間上有4695個交易日，這意味著美元投資在46%的損失都發生在其中0.21%的時間內。類似地，在20世紀80年代，標普400指數總體正收益的40%出現在10個交易日內。

那麼投資者能做些什麼？經紀人建議客戶購買和持有，不要試圖進行波段操作，然後尋找買賣的黃金點。但是這可能是妄想。因為更重要的是特殊時刻，而非平均。一些最成功的投資者其實是做到正確把握時機的人，比如通過與英鎊對賭2周獲利20億的索羅斯。很少有人能做到這一點，或許我們可以以更謹慎地對待這樣的集聚性，比如一個股票因為一個重大新聞已經在一周內上漲了40%，兩倍於正常變動，短期內再漲40%的可能性不是沒有，但是真的很小。

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價格是跳躍的

我們常常會思考如何設計金融的永動機。曾經有一個MIT的教授提出了一個戰勝市場的方法：每當市場上升超過5%或更多時，就購買和持有，而下降唱過5%時，就賣出和觀望。這名教授認為，有效市場是錯誤的，價格的確按趨勢運作，如果一隻股票上漲了5%，那麼他會有更大的可能性上漲（編者註：即動量效應）。他計算過，按照這個規則，他會在1929到1959年的股票市場中轉到36.8%的平均年利潤。

但是這位教授用每日公布的收盤價格來計算他理論上的投資組合價值，而不是實時的、投資者在市場中面對的價格。如果GM公司股票兩個交易日的收盤價漲幅超過6%，那麼按照他的理論，投資者就會買進，但是實際上價格並非一分錢一分錢的上漲的，而可能出現飛速的變動，精確的5%的目標，可能在買進時刻，變成了5.5%的漲幅，那麼這樣的交易會蠶食我們預計的收益，同樣地，我們出售下跌股票時，可能價位也會在我們的預期之下。

所以這個理論註定是有

缺陷的，這名教授後來在另外一篇論文中也承認了這一點。他的錯誤是可以被原諒的，連續性是所有人普遍的假設，假如我們看到一個人跑步，半小時後在另外的地方看到他還在跑，我們會想當然的認為他跑了30分鐘，而不會認為他曾經休息過。數學革命中的微積分就是研究這一的連續性的基本武器，而傳統的金融學都將連續性作為價格模型的最基礎假設。

不過這樣的假設和數學一樣，都是錯的。金融價格確實跳躍，而我認為這樣的跳躍或者不連續下，其實是經濟學和物理學的最關鍵的區別。在完美的氣體中，分子的碰撞和交互使得溫度真正實現了平均，但是在金融市場中，推動一個投資者的信息可能很小或很大，他的購買力可能無關緊要也可能會直接導致市場變動，而投資者的決策也可能只是一次心血來潮。這些都可能導致價格變動於一個非常寬闊的區間，並且在變動之外，還有混亂。在這個信息加速傳遞的時代，一個巨大的消息可以在幾秒之內就被數千萬投資者知曉並作出反應，於是價格的變動不再是一個漸進的曲線，而是一個瞬時調整的結果。

對於投資者來說，沒有什麼比突然性的價格大跌更嚇人了。但這樣的非連續性並不意味著我們無法獲利。紐約證交所有一個做市商系統（也叫專家制度），當買賣雙方不匹配時，他們會用自己的錢介入並完成交易，美其名曰保證市場的連續性。而證券交易委員會在日後對1997年崩盤的研究中發現，在最瘋狂的24分鐘里，做市商是最強勁的凈購買者，買入量是賣出量的2倍多，而他們也賭贏了，因為價格的確回升了。這也是他們變得不受歡迎的原因所在。

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在市場中，時間並非一成不變

傳統的金融分析對時間的觀點是矛盾的。首先時間是用鐘錶度量的，對每個投資者都一樣，當使用CAPM模型計算風險時，我們假設每個投資者都是一樣的，持有目標證券的時間也一樣長。但是對於市場派而言，每個投資者的時間是不同的，因為你只要變換時間尺度，每個證券的風險是有差異的。因為一筆日內交易和一筆持有6個月的交易的風險尺度是不一樣的，而大部分人都覺得，每天進行日內交易的人早晚要破產。

其實我們完全不必搞得這麼複雜。分形分析的特徵在於，1天和1年、1個小時、1個月所使用的風險因子是一樣的，他們只有大小的差異，而沒有比例上的差別。在分形分析中，價格序列類似於一個摺疊的天線，你可以看它全部的長度，也可以折起來分段看。這就是金融價格序列變動的特徵，從統計學而言，1天的風險與1周、1個月和1年的風險是類似的，指數價格隨著時間尺度伸縮變化。

而通過對棉花價格變動的研究，我發現對於幾十年中的幾天或者幾個月而言，所有價格的變化趨勢遵循同樣的特徵，即所有的線都是同等波動的。原因在於，我認為經濟學並不像物理學那樣有內在的確定性時間標度，我們觀察1天的價格波動和1個月的類似，是因為從盈虧概率來講，1天就是和1個月很像。不過其中的一些時間段是有意義的，比如公司發布報表的時點。當全球交易所在一日之內一次開閉時，我們的一個交易日其實是有內在節奏的。不過這種周期模式，是金融學家在構築理論時試圖通過統計方法來抹平的，也就是我們使用的季節調整方法。因此與物理學宏觀和微觀法則存在障礙不同，經濟學的宏微觀其實是可以自由切換的。

在分形分析中，時間是可變的，我們在多重分形里把市場描繪為一個變化的時間，在一處擴張就在另一處收縮。價格如果出現戲劇的變化，我們交易的時間尺度就相應拉長。一些研究試圖把這個概念與交易量聯繫起來，即高的交易量與快速的交易時間均等。不過我們暫時無法建立起一個相應的方程關係。時間變數是數學上的一個便利，便於我們分析市場，也符合我們的主觀意識。但是時間並不是木尺上一成不變的刻度，它更像不斷充氣和放氣的氣球上的刻度，不斷的變化。

市場在每時每地都是相同的

如果你把一隻貓扔向天空，它還是會用自己的腳著地（編者註：危險，請勿模仿），而如果在下落過程中它遇到了一個障礙物，它的身體還會自發調整來避免碰撞。那麼它是如何做到的？

這是我之前研究的一個課題，醫學院的教授通過觀測貓在下落過程中的神經元信號類型，來搞清楚這個問題。於是他們一次一次的扔貓，還關注貓在各個狀態下的腦部運動狀態，結果發現，貓即便在沒有外部刺激的狀態下，腦部依然保持活躍，也就是說貓存在一種自發的神經元激發。這就像經濟學家說的那樣，在沒有任何外生因素的情況下，內生活動按照規則不斷持續，而這樣的規則是我們想要知曉的。

現在我們無法把股市與世界割裂觀察，但是它內部運行的規則依舊存在。我相信在市場中，人們會表現出一種自發、內在的人性，類似於一種先天性的活動。這種內在過程本身不產生價格，但是肯定是價格確定機制的一部分。它包括價格決定方程中的內生性變數，輸入一個經濟數據併產生一個股票價格時，暗箱操作所佔的比率。一個市場在多大程度上與另一個市場相似，取決於這些內生性活動的比例和作用機制。

分形市場研究的一個令人吃驚的結論是不同市場間一些變數具有很高的相似度。通過對棉花價格研究，我們發現在一個世紀的交易記錄里存下同樣程度的變化，因此我猜測產生美國棉花價格的過程只是在按比例伸縮，而非一種自然的隨機變化。

數學家和物理學習喜歡不變形。而分形幾何也是一種關於不變模式的研究，即使在時間和空間上觀察尺度發了變化。統計學家的穩定性概念在於，一個平穩的時間序列的統計性質是一致的。但是經濟學家認為經濟學中不存在這樣明顯的不變性，所以很多價格變化模型希望通過嵌入隨著天、秒變化的變數來解釋波動性的易變性。但我是一個樂觀主義者，我願意承認不變性的存在，並且在一些隱蔽的地方去尋找他們。不變性讓我們的生活變得更簡單，如果你能找到一些不隨時間地點變化的市場特徵，你就能建立更有用的模型來做出更有效的金融決策，而我的多重分析模型就是處理這樣的問題。

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市場天生就是不確定的，因此泡沫難以避免

生活在一個分形的市場，是一種怎樣的體驗？我用一個寓言故事說明吧：

很久之前，有個國家有一萬個湖泊，那裡最大的湖像一片大海，有1600英里寬，第二大的又919英里，第三大的油614英里，這樣最後一個也是最小的一個只有1英里寬。這個國家有一個數學家，發現湖的直徑遵循冪律方程遞減。而這片土地旁邊有一個全是霧的國家，這裡的霧大到能見度不到1英里。於是國王想測量一下這個國家的大小，他們到湖邊發現，霧太大了他們看不到對岸。於是他們如往常一樣，按照已知的大小來工作：他們假設隔壁國家與自己的國家相似，湖的大小也和本國一樣遵循類似的分布。所以他們在坐船出發前，認為自己至少要走1英里路，平均來看要走5英里。不過他們換船很久都沒看到岸，於是他們重新計算了要走多遠，按概率來說他們還要再走5公里，但是結果他們仍然沒有看到岸，於是他們絕望了，因為他們覺得自己沒有做好充分準備，可能永遠也到不了岸了。

投資者往往也有這樣的感受。如果你按照冪律來推測距離，那麼按照概率來說，你可能有5英里、10英里和另一個10英里要走。依此類推，你總會在某一個時刻到達對岸，但是這個時刻又會是任意的時刻，因為概率是伸展但不變的。

正如我一直強調的，市場的價格變化按照比例伸縮，金融產品價格序列中的大變化和小變化比例服從一個一致的模式，這導致價格波動幅度比你預期更大，或者說你從10億轉到100億的概率和你從100萬賺到1000萬的概率一致。

這個結論似乎太聳人聽聞了。但是我們可以用譬喻的方式繼續探討，投資者是那些測量員，濃霧相當於我們知識的邊界，而湖水是10000種股票的價格。你能發現那隻股票不斷上漲直到你根本算不出收益的股票嗎？或者你能否找到一個因為股票短期內出乎意料的暴跌而破產的人嗎？或者你是否能意識到，你生活在一個終將破滅的泡沫中嗎？這就是概率尺度帶給我們的迷惑，它讓決策變得困難，預測變得危險，也讓泡沫更為確定。

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市場是個騙子

泡沫是戲劇性的，但是市場趨勢的欺騙性每天都在發生。比如那些用圖形解釋市場的人。他們的技巧十分複雜，最有名的就是艾略特的波浪模型。他的理論認為投資心理在樂觀和悲觀的波浪間變動，這些波浪也會在股市中不斷重演。他的理論成功預測了幾次市場反轉，並受到人們的矚目，但這種策略的不確定性依然很大，同其他技術分析方法比較，也沒有特別大的優勢，但這種方法是我們一以貫之的感性總結的一種，與我們的進化和認識方法相輔相成。比如曾經有俄羅斯統計學家，將布朗運動拆解為重疊的周期運動，數據越豐富，這樣的周期越明顯，但是這種周期是不真實的，因為數據本身仍然只是隨機事件的排列。

一個金融價格序列在多大程度上是虛假的？如前所述，價格長期依賴於數據上的趨勢，這種趨勢不趨向於任何特地價格水平，而是趨向特定大小和方向的價格變化。這種變化可能是連續的，這意味著趨勢的增強，一個趨勢開始，就會一直發展下去；這種趨勢也可能是不連續的，一個趨勢一旦開始，就會反轉。這種持續性的變化非常離奇，但是又非常常見。我們驗證過很多數據，它們都顯示出長期、緩慢的三周期波動，而在長期的波動之中，似乎又有很多小循環發生，而這樣的小循環又呈現類似的三周期形態。

而康德拉捷夫（Nikolai Kondratiev）所研究的西方主流經濟體中存在的增長和衰落的長浪（編者註：也就是這幾年很火的「康波」），每一波平均54年，他預測最後一次結束於20世紀40年代。而二戰之後，經濟學家們一直在爭論康德拉捷夫是否錯了，不過我通過隨機數據的操作，確實可以觀測到一個類似於康波的周期操作，我把這樣的經濟學意義歸功於我們大腦的工作方式，而非生產槓桿的運作。

實際上，這種長期的路徑依賴就是有這樣的欺騙性，我們會在金融數據中不斷發現這一點。但這不意味著報表是沒有意義的，以及數據的變動就是完全由上帝決定的，但這確實告訴我們，K線圖這樣的價格圖的結論並不能快速得到，只有莽撞的投資者才會那麼輕鬆地僅憑報表就預測出未來的價格走勢。

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預測價格不太靠譜，但是你可以預測未來波動的概率

沒錯，市場是瘋狂的騙子，趨勢是不靠譜的，你不能預測價格，但是預測風險是完全不同的另一回事。經典的隨機價格模型有三條主張：第一是鞅條件（martingale condition），即你對明天價格的最優預測就是今天的價格；第二是獨立性（declaration independence），即明天的價格獨立於歷史價格；第三是常態性（statement of normality），即所有的價格一起按照正態分布發生。在我看來，這些條件太多了。第一個條件雖然沒有被數據證實，但是至少在直覺上，它可以解釋為什麼我們總會錯誤地猜測市場。但是其他幾個條件都是錯的。

大量數據證明，價格變化依賴於過去的價格，而鐘形曲線是沒有意義的。用數學語言表述，就是市場能夠不通過相關性來現實他的非獨立性。這個悖論的關鍵在於，價格變化大小與方向的區分。如果方向與過去不想幹了，那麼昨天股票價格下降並不代表今天股價也下降。絕對獨立的變化也有可能，昨天10%的下跌可能增加了今天另一個10%變動的可能性，但是我們不能進一步說這10%是上升還是下降。如果這樣，相關性消失，儘管有很強的關聯。大的價格變化傾向於跟隨更大的變化，而小的價格變化傾向於帶來更小的變化。這就是波動性的集聚。

如果你是一個股票管理者，你就需要從風險中獲益。期權交易者努力從奉獻中獲益，他們設計的跨期、掉期等產品來交易波動性，甚至直接用波動性標價，比如芝加哥期權交易所的VIX指數，就是在賭未來30天標普500的波動性。行業分析師們涉及了很多方法來預測波動性，他們中的很多人認為傳統的金融模型沒有用。

當然你無法精確預測任何事。預測波動性和天氣預報本身很像，你可以測量颶風的強度與路徑，也能計算登陸的概率，但是你無法準確預測它的登陸地點和造成的損失。這種氣象學的預測方法其實早已在金融學領域中推廣，第一步就是確定一種方法來預測金融危機的強度和路徑。就好像我們用震級來評估地震的強度一樣，評估金融市場能量的尺度在很多人看來就是波動性。兩位巴黎大學的研究院涉及了一種市場震動指數，他們用類似於地震評級的方式評估市場金融危機的威海。

而下一步則是進行預測，一些研究人員根據自己的貨幣市場崩潰的衡量方法，發現他們的指數可以預測短期的市場風暴，至少可以在早期對市場的不穩定給出警告。對於投資者來說，你可能不能擊敗市場，但即便如此你依然可以避免最壞的情況。

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價值這個概念的價值是有限的

價值是每個投資者追隨的東西。金融分析師們通過不同的模型來評估企業的價值，預測增長，觀察宏觀經濟的周期變動。所有這些都暗示價值是一個簡單的數字，或者是一個理性可解的信息函數。給定一種資產的特定信息集，如果每個人能採取同樣理性的行為，那我們就可以推出一個特定的價值標籤。價格可以圍繞價值波動，我們可能很難推出價格，但是價值是可以計算的。在信息的混沌之中，價值就是一個均值確定的東西，這個思想受到人們的廣泛歡迎，因為我們憎恨不確定、不平等和不可測的東西。

可是這種觀點有什麼用么？一個企業的價值是什麼？市值最常見的指數是P/E，可是你想想Cisco，在最高點時它的P/E是137倍，任何相信這個價值是合理的投資者，都必須強迫自己相信，未來十年Cisco都會保持這樣的增長，此時公司的價值將超過美國經濟的年度產出。於是2003年初最低點的時候，Cisco的P/E只有26。但奇怪的是，其實此時它的盈利增長要比之前更快。Cisco的價值在每月每周和每日都發生著變化，如果價值的變化是持續的，那麼對任何投資者或分析師而言，這樣的變化的意義在哪裡呢？

也許你會說，價值是成本的函數。你可以很簡單地通過報表，計算出Microsoft辦公軟體的相關成本，但是這些成本里，是否應該包括之前各代軟體的成本？因為沒有這些成本，現在的辦公軟體也不會存在。Windows系列系統的成本也應該包括在內，因為這是你所有操作的基礎。你還要考慮客戶電腦的安裝維護成本，因為這些成本組成了微軟的經營生態。事實上成本的統計是很難達成共識的，即便能達成共識，我們也缺乏把它轉化為價值的手段。

商品價格的變化十分劇烈，1979到1980年，6周的銀價上漲了3倍，你很難判斷它的真實價值是多少，推廣到房價更是如此，平均值沒有意義，因為我們只會在區域中買某個小區的房子。當然我不是說不存在內在價值，它是一個流行的理念，但是過去幾十年動蕩的市場至少告訴我們，價值至少是不可靠的。

所以，金融市場的主要推動器不是價值或者價格，而是價差；不是價格的拉平，而是套利。人們在地點和時間之間套利，套利策略假設售出的物品中不存在內在價值，我們只是觀察和預測到了價差，然後就能獲得利益。或許對於理解分形而言，我們首先就要拋棄對均值的執念。

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