2.5 微積分的進化（5）——一維光滑函數的超進化

02-07

目標與步驟：

　　1. 積跬步以至千里【經典微積分】；

　　2. 論吃漢堡的正確姿勢【勒貝格積分】；

　　3. 擠擠更健康【 $L^p$ 空間】；

　　4. 死道友不死貧道【分布】

　　5. 一維光滑函數的超進化【絕對連續（與有界變差）】

　　6*. 高維光滑函數的超進化之條條大道通羅馬【Sobolev空間的等價定義】

　　7*. 從牛頓到龐加萊【Poincare公式】

　　8*. 一人得道雞犬上天【Sobolev嵌入】

　　9*. 進化仍在繼續【Sobolev空間的應用】

前情提要：

　　分布導數（和Radon測度）的定義。

　　據說寒假就要結束了，然後最近很多人在趕作業哈哈哈哈~ 作為逃離出苦海的人之一，為啥我就覺得這麼爽呢啊哈哈哈哈哈~~~【我就是要笑你來咬我啊啊哈哈哈哈~~~】

　　抱歉這一段的文章出現了一些錯誤。不過自己確實很忙，沒太多時間去檢查，因此感謝大家的指正啦。文章裡面很多東西僅僅是寫的時候感覺是對的，所以有時候就有些想當然了。比如上次的測試函數空間 $C_c^{infty}(mathbb R)$ 就是因為自己覺得可以用可數個緊集去窮竭 $mathbb R$ 所以感覺可能可以用可數個半範數去刻畫空間，進而空間可以度量化。然而事實上窮竭的思路是可行的，但是得不到可數個半範數。

　　我現在的更新進度大概是兩周一篇，但是我並不能保證自己能夠保持這個進度。雖然忙這個理由聽起來更像是一個借口，但是這真的是事實。最近主要是在改某篇重要的論文手稿。由於某些原因，我與合作者們已經改一個多月了，依舊還未能提交……【希望近期能夠提交吧。唉，說起來都是淚……(ノへ￣、)】

　　然後最近我突然發現自己真是在作死。為了簡單的原因，我想用儘可能少的知識去達到Sobolev空間這個目標，並且還沒有任何寫作草稿（你們看到的就是我的草稿），所以很多重要的東西我都沒有介紹，比如可積函數的勒貝格點，卷積與光滑函數逼近等等。結果到自己寫文章的時候就有些手足無措了。我現在要麼只能在前面補充（比如Radon測度），要麼只能想盡辦法用現有的東西去證明……總之現在所寫的這些文章裡面肯定會有一些不一致性，並且後面的很多定理我可能不給任何證明。不過最後當我結束這一章內容以後，我會重新把所有東西再次整理一遍。有些東西會按照需要屆時補上。（有朋友提到我的公式太多，我只能說我已經是儘可能地在縮減了。如果大家有更好的建議可以告訴我哦~）

　　然後是這次的封面【(*/ω＼*)】。R18遊戲你們懂的，找一張正常的CG圖真是太難了【我已經儘力了(′-ι_-｀)】。我是一個儒雅的人。這張圖真的是妹子腳受傷了【你看繃帶都在呢】，請千萬千萬不要想歪。特別地，請管理員大人不要誤會哦~

　　最後就是……嘿嘿嘿……

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　　歷經千辛萬苦，我們終於在上一節拿到了 $C^1$ 函數進化最需要的東西——「分布導數進化石」了。它可以讓任意局部可積的函數 $L^1_{ m loc}(mathbb R)$ 無窮次求導。不過這個進化石也不是隨隨便便就能用的，因為我們已經發現求導出來的東西可能不是函數，甚至於連測度都可能不是。

　　怎麼辦呢？最簡單的方法就是霸王硬上弓唄【┗|｀O′|┛ 嗷~ 小蘿莉們，哥哥來了吼吼吼~~】。我們就只看那些分布求導以後還是局部可積的函數就好啦。原因嘛，就是因為它們……它們帥嘛~【函數的世界也是看臉的哦！】

　　換句話說，我們只認這樣的函數 $fin L^1_{ m loc}(mathbb R)$ ：存在某個局部可積函數 $gin L^1_{ m loc}(mathbb R)$ 使得對於任意 $varphiin C_c^{infty}(mathbb R)$ 我們都有

$int_{mathbb R}f(x)varphi(x),dx=-int_{mathbb R}g(x)varphi(x),dx.$ 【偶系「定義」喲！】

這裡的函數 $g$ 就是傳說中 $f$ 的分布導數（弱導數）的一個代表【我們可以稍微改動 $g$ 一點點（零測集），換一個代表什麼的，因為代表至少有三個嘛~】。

　　不過霸王硬上弓一時爽，但是作為新時代有責任感的好青年，我們還是要考慮考慮善後事宜的。首先，這樣的函數存在嗎？答案是肯定的，因為對於任意的 $C^1(mathbb R)$ 函數，它和它的導函數就分別是這裡的 $f$ 和 $g$ 啊。事實上我們就是根據分部積分公式來定義的嘛。既然如此，那麼我們是不是真的得到了比 $C^1(mathbb R)$ 更多的函數呢？答案也是肯定的。因為上一節我們提到的連續但不可導函數

$f(x)= left{ egin{array}{ll}0 & x<0\x &0 le xle 1\1 & x>1end{array} ight.$

和它的分布導數

$f(x)= left{ egin{array}{ll}0 & x<0, ext{ or }x>1\1 &0 <x< 1end{array} ight.$

就滿足這樣的性質嘛。也就是說對於這裡的函數 $f$ ，「定義」裡面的 $g$ 就可以取 $f$ ，雖然 $f$ 並不是處處可導的。

　　看來我們離我們的目標已經很接近了嘛。不過現在有一個問題，這樣進化出來的函數我們還有期望中的牛頓-萊布尼茲公式嗎？換句話說，我們希望對於任意 $a,,binmathbb R,,a<b$ 都有

$f(b)-f(a)=int_a^b g(x),dx.$ 【我是「目標」哦~】

不過這是很危險的，因為我們在等式左邊取的是 $f$ 在兩個點上的值。由於我們僅僅要求 $fin L^1_{ m loc}(mathbb R)$ ，函數在這兩個點上的值可以隨意亂跑而不影響它的積分性質。因此對於一般的函數我們需要取一個代表元（一般而言這樣的代表都是由勒貝格點的形式給出，但是我還是不準備介紹勒貝格點哼~(*￣3￣)o）。

　　既然如此，我們先假設 $f$ 是連續的吧，因為這樣它的值就不能再到處亂跑了~ 讓我們再看看「目標」吧。它和我們的「定義」是不是很像啊，因為左邊都是 $f$ 右邊都是 $g$ 嘛……【我錯了表打我ヽ(*。>Д<)o゜】

　　「定義」右邊是對 $g$ 的積分，不過和「目標」相比多了一個第三者 $varphi$ . 我們希望這個 $varphi$ 能夠幫我們把「定義」的右邊變成「目標」的右邊。最簡單的方法就是讓 $varphi$ 等於區間 $[a,,b]$ 的特徵函數 $chi_{[a,,b]}$ 了（差一個負號）。

　　嘛，這不很簡單嘛，我們去貼通緝令找到它吧ヾ(≧▽≦*)o~

　　抱歉！【炎爆術！】現實是殘酷的，因為 $chi_{[a,,b]}$ 不是光滑函數。

　　沒辦法，我們就只能找些和 $chi_{[a,,b]}$ 長得比較像的光滑函數來濫竽充數了，比如像這樣的：

啊抱歉拿錯劇本了，是這個：

換句話說，我們找一組光滑函數 $varphi_j$ ，使得 $0le varphi_jle 1$ ，並且它在區間 $left(a+frac 1 j,, b-frac 1 j ight)$ 上等於 $1$ （不妨假設 $b>a+2$ ，因為我們可以拉伸函數 $f$ 嘛），在區間 $left(a-frac 1 j,, b+frac 1 j ight)$ 以外的地方等於 $0$ . 這樣的函數就，隨著 $j o infty$ ，逐點收斂於我們的函數 $chi_{[a,,b]}$ 啦。根據第二節我們提到的勒貝格控制收斂定理以及 $gin L^1([a-1,,b+1])$ ，我們知道把 $varphi_j$ 帶入以後，當 $j o infty$ 我們就得到了想要的「目標」右邊啦（差一個負號）。

　　我們剩下的就是需要驗證的就是，在這樣的過程中， $int_{mathbb R}f(x)varphi_j(x),dx$ 是不是會收斂到 $f(b)-f(a)$ 呢？注意到根據定義

$int_{a-frac 1 j}^{a+frac 1 j} varphi_j(x),dx=varphi_jleft(a+frac 1 j ight)-varphi_jleft(a-frac 1 j ight)=1.$

換句話說 $int_{a-frac 1 j}^{a+frac 1 j} f(x)varphi_j(x),dx$ 其實就是在區間 $left(a-frac 1 j,,a+frac 1 j ight)$ 上對函數 $f(x)$ 求（某種權重下的）平均。由於 $f$ 根據假設是連續的，所以當 $j o infty$ 的時候我們得到極限值就是 $f(a)$ . 類似的在區間 $left(b-frac 1 j,,b+frac 1 j ight)$ 上我們得到的極限就是 $-f(b)$ . 注意到 $varphi_j(x)$ 在其它地方都是等於 $0$ 的。綜上所述，我們根據「定義」得到了

$f(a)-f(b)=-int_{a}^b g(x),dx.$

這正是我們想要的。可喜可賀，可喜可賀~

　　既然在 $f$ 連續的假設下，我們得到了想要的東東。那萬一要是 $f$ 不連續呢？注意到上面的證明中我們只是在討論「目標」左邊的時候用到了 $f$ 的連續性。根據那裡的想法，我們需要 $f$ 在取平均的意義下去找到一個代表元 $f^*$ 。這需要勒貝格微分定理（或者更一般的，Radon測度的弱緊性）。通過它我們可以找到一個 $f$ 的代表 $f^*$ ，使得它們之間相差一個零測度集合，而且 $f^*$ 「連續」（在平均的意義下）並滿足牛頓-萊布尼茲公式。根據我們前面的討論，這也就是我們所能做到的最好了。

　　好了，我們證明了滿足這樣性質的函數具有（某種意義上的）牛頓-萊布尼茲公式，那麼這樣的函數 $f$ 具有什麼樣的性質呢？注意到牛頓-萊布尼茲公式告訴我們函數的差分是用它的（弱）導函數 $g(x)$ 的積分給出的。因此如果我們任意取有限個區間 ${[a_k,,b_k]}_{k=1}^{N},,[a_k,,b_k]subset[a,,b]$ ，我們可以得到

$sum_{k=1}^{N}|f(b_k)-f(a_k)|le sum_{k=1}^{N} int_{[a_k,,b_k]} |g(x)|,dx= int_{cup_{k=1}^{N}[a_k,,b_k]} |g(x)|,dx.$ （俺就是「變差」啦）

如果 $E:=cup_{k=1}^{N}[a_k,,b_k]$ 的測度很小，我們可以知道右邊的積分也是很小的（積分的絕對連續性，證明見下），因此「變差」左邊的差分和也是很小的。滿足這個性質的函數我們稱為在 $[a,,b]$ 上的絕對連續函數。也就是說，滿足「定義」的函數一定是（局部）絕對連續的。注意到絕對連續函數一定是連續的，但是連續函數不一定絕對連續（參見Cantor函數）。

（積分絕對連續性的證明：由於 $gin L^1([a,,b]),,Esubset [a,,b]$ ，我們根據第二節的精神【領會吃漢堡的精神吧少年】可以知道（嚴格證明來自Fubini積分交換定理）

$int_{E}|g(x)|,dx=int_{0}^{infty} m_1({xin E colon |g(x)|>t}),dt<infty.$

對於任意 $epsilon>0$ ，根據積分的收斂性，我們知道存在一個 $M=M(epsilon,,f)>0$ （不依賴於 $E$ ）使得

$int_{M}^{infty} m_1({xin E colon |g(x)|>t}),dt<frac epsilon 2.$

因此如果 $m_1(E)<delta=frac {epsilon}{2M}$ ，我們就有

$int_{0}^{infty} m_1({xin E colon |g(x)|>t}),dtle int_{0}^{M} m_1(E),dt+int_{M}^{infty} m_1({xin E colon |g(x)|>t}),dtle Mdelta+frac epsilon 2le epsilon.$

證畢。）

　　一個自然的逆問題就是，絕對連續函數是不是都滿足「定義」呢？答案是肯定的。事實上我們甚至可以得到絕對連續函數是幾乎處處可導的，並且這裡的 $g$ 就可以取這個導函數。但是由於這個證明需要用到覆蓋引理，恕我略去。絕對連續函數不僅僅是滿足牛頓-萊布尼茲公式，並且還可以用於積分變數代換（Change of variables）等等。根據這些我們知道，在我們所期望的範圍中，絕對連續函數就是進化的終點啦~【完結撒花233333】

（如果我們將要求放寬，使得 $f$ 的分布導數不僅僅局限於局部可積函數，而是進一步包括所有的（符號）Radon測度，那麼我們得到的函數將會使得「變差」最左邊的數值始終有界（但是不一定很小）。這樣的函數稱為（局部）有界變差函數。絕對連續函數是有界變差的，不過有界變差函數不一定連續，比如區間 $[a,,b]$ 的特徵函數 $chi_{[a,,b]}$ . 有界變差函數幾乎處處可導，但是導函數不再滿足牛頓-萊布尼茲公式了，需要另外加上分布導數的奇異（singular）部分。比如Cantor函數是絕對變差的（甚至於單調的）。它的導數幾乎處處為 $0$ ，但是函數值卻可以從 $0$ 變成 $1$ . 關於Radon測度的分解可參看Radon–Nikodym theorem. ）

　　不過我們的旅程結束了嘛？並沒有，因為我們費了九牛二虎之力弄出來的東西僅僅是 $C^1$ 在一維空間中的推廣。對於高維的推廣需要如何進行呢？讓我們期待下一節吧~

　　【真誠希望這一節沒有問題了QAQ……（大家來找碴23333~）】