瞬時速度是什麼？

02-07

速度是什麼，瞬時速度才是真正的速度嗎，當我要給一群中學生講這個問題的，我自己感到十分的彆扭，我沒辦法對速度說出來更多的東西，除了書本中介紹的那些。好像某個偉大的物理學家說過，當你自己能給自己說出來，並且能說服自己，你才會真的明白這個東西到底是什麼。所以，我知道我不明白速度。我和我的同事說，他們不明白我為什麼不明白。我回憶了曾經的學習過程，好像瞬時速度是一個可以感知的東西就在那裡，但是如果我和我的學生說，你看，它就在那裡，你可以感覺到的，用心去感受，那實在是太愚蠢了。所以，我翻開力學教材，費曼講義，微積分，看各種公開課，搜索，想盡辦法去弄明白這個，但是似乎好像只有我自己不明白。我問一個工程師朋友，學識很淵博，他表示自己對於導數到底該怎麼講，怎麼表達，也是一直有疑問的。所以，我想把這個問題提出來，瞬時速度真的存在嗎，如果存在，它長得什麼樣子呢？
搭車擴展一下問題，經典力學不適用於微觀領域，為什麼還會有一些涉及到極限和微積分的概念？

1.首先要明確，瞬時速度是一定存在的。感性上來講，任何一個運動物體，在任意某一時刻，某一位置都具有速度，這就是它的瞬時速度。

2.既然瞬時速度是存在的，我們就需要求出它。

3.我們求運動物體的瞬時速度，不是用速度計或者其他什麼儀器實際測量，也就不存在用平均速度近似代替瞬時速度的說法。也就是說，這種測量不可靠，不是瞬時速度的精確值。

4.怎麼計算瞬時速度呢？

分析物體受力情況，由運動學方程來求（其中必然有求導過程）。要理解求導求出來的是瞬時速度的精確值，就需要數學基礎，樓主的問題，就是數學基礎問題。我們可以通過看微積分解決這個問題。

舉個例子：

假如我們通過受力分析已經得到物體的位移與時間的關係

$s=5t^{2} +2$

位移對時間的導數就是瞬時速度，這個瞬時速度就是時間間隔 $riangle t$ 趨於0時的平均速度，這裡所說的趨於0，就是無限接近0，最接近的情況就是 $riangle t$ 等於0，而這對於平均速度來說是不允許的。我們來看怎麼化解這個既要求 $riangle t e 0$ ，又要讓 $riangle t=0$ 才使得瞬時速度是精確的這個矛盾。

$frac{ds}{dt} =lim_{t ightarrow t_{0} }frac{{[(5t^{2}+2 )-(5t_{0} ^{2}+2 )]} }{t-t_{0}}$

$=lim_{t ightarrow t_{0} }frac{{5t^{2}+2 -5t_{0} ^{2}-2 } }{t-t_{0}}$

$=lim_{t ightarrow t_{0} }frac{{5(t^{2}-t_{0} ^{2}) } }{t-t_{0}} =lim_{t ightarrow t_{0} }frac{{5(t+t_{0} ) (t-t_{0} )} }{t-t_{0}}$

注意看，被求極限的部分 $frac{{[(5t^{2}+2 )-(5t_{0} ^{2}+2 )]} }{t-t_{0}}$ 是 $riangle t$ 時間間隔內運動物體的平均速度，顯然在感性上來看，這個 $riangle t$ 趨於0但是不能等於0，如果等於0，平均速度的概念就無法成立，從數學上來看，被極限部分會因為分母為0而失去意義。因此在極限定義中，要求 $t e t_{0}$ 就非常有用。

既然 $t e t_{0}$ ，那麼在 $lim_{t ightarrow t_{0} }frac{{5(t+t_{0} ) (t-t_{0} )} }{t-t_{0}}$ 中，可以把 $t-t_{0}$ 約分，得到

$lim_{t ightarrow t_{0} }frac{{5(t+t_{0} ) (t-t_{0} )} }{t-t_{0}} =lim_{t ightarrow t_{0} }{5(t+t_{0} ) }$

注意，此時，我們面對的不再是平均速度，平均速度的概念和定義已經在上一階段完成它們的使命，此刻面對的，是求函數 ${5(t+t_{0} ) }$ 在 $t_{0}$ 時刻的極限， $t ightarrow t_{0}$ 意思是 $t$ 無限接近 $t_{0}$ ，無限接近是什麼意思呢，就是 $t$ 與 $t_{0}$ 的距離非常小，那最小的情況是什麼？就是 $t = t_{0}$ ，所以此時，針對 $lim_{t ightarrow t_{0} }{5(t+t_{0} ) }$ ，我們就在結果中取 $t = t_{0}$ ，此時取 $t = t_{0}$ ，從而 $riangle t=0$ ，從而得到瞬時速度的精確值，而不是取了一個無限接近 $t_{0}$ 的值來計算。

所以求瞬時速度的過程用了兩個概念兩個階段，第一個概念和階段是時間間隔不能等於0，這使得平均速度的概念得以建立，被極限的函數的分母不為0，從而給以我們約分的理由；第二個概念和階段，是針對前一階段得到的結果 $lim_{t ightarrow t_{0} }{5(t+t_{0} ) }$ ，此時此刻，用到函數連續性的概念，使得我們可以取 $t = t_{0}$ ，使 $riangle t=0$ ，達到求得瞬時速度的精確值而不是用平均速度的近似值的目的。

從最開始的要求 $t e t_{0}$ ，讓我們把分母分子約分，到最後取 $t = t_{0}$ ，得到瞬時速度的精確值，這就是你們之前沒有看到的東西。

在數學中，極限求解的最終函數，例如上面的 ${5(t+t_{0} ) }$ ，都是連續函數，這就給了我們直接取該點計算的理由，所以極限與連續性是整個微積分的基礎，連續性是一個人為定義，而這個定義卻是對客觀實際的正確描述。

我們一開始就說瞬時速度是存在的，即便你當這是一個假設，然而我們通過在此假設下的具體計算，能夠計算出瞬時速度，因此也證明了假設是成立的。

參考來源：

阿爾法微積分，專註微積分

所以你就根據極限來定義就好了啊。ds/dt。

為何我覺得自己在中學生的階段就能很好地理解……

所以說學物理以前要學好數學

從定義上來說，瞬時速度是指物體在某一瞬間的速度，表示運動物體在某一時刻或某一位置時的速度（定義摘自百度百科）。在經典力學的框架下，物體的位置比較容易理解，所以想要理解物體的瞬時速度，必須理解「瞬時」。瞬時是時間間隔不為0但無限趨近於0的一個時間段。所以瞬時速度應該為一段時間（時間間隔不為0但無限趨近於0）的平均速度。

而題主的另一個問題：瞬時速度存在嗎？首先，瞬時速度是一個被定義出來的量而不是基本物理量，所以不存在絕對的瞬時速度，只存在相對的瞬時（間隔不為0但無限趨近於0）速度.

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我是在讀研究生一枚，第一次在知乎上答題，希望大家多多交流

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有個和本題相關的悖論：飛矢不動佯謬

百度百科已經把其內容和錯誤的地方解釋的很明白

內容：

解釋：

我想反駁一下阿爾法微積分的答案，他直接先下一個假設，瞬時速度一定存在，然後所有的推導都基於這個假設，那你憑什麼下這個假設？是你觀察到了現象還是能重複出實驗？

題主的問題不是他不會求瞬時速度，也不是他不知道怎麼求瞬時速度，從題主的口吻來看，他從事的教育行業，作為老師，用一個微積分去求瞬時速度有什麼難度？用極限的概念去理解瞬時速度有什麼難度？

題主的問題很顯然是牽扯到了更本質，或者說更不實用的層面，也就是所謂的哲學和理解。

如何去理解瞬時速度本身，而不是用現有的概念去套它，從最根本的，能觀測到的現象去揣摩它，這才是題主問題的本質，至少我是這麼認為的。

「顏色不一樣的煙火」指出了瞬時速度是一個定義量，而不是一個觀測量，不存在絕對的瞬時速度，同時用經典的「飛矢不動」悖論表明這已經是一個長久討論的話題了。

從對「飛矢不動」的反駁中可以看到，關鍵點在於時間與空間的連帶性，運動必須要有時間參與，也就是說一定要先定義了時間區間，物體在時間區間內行進的路程除以時間區間，才能真正得到速度。而「飛矢不動」悖論中假設了一個實際不存在的時間區間，所謂的無限小區間。從量子學的觀點來看，如果量子學的的確確是正確的，那時間並不是無限可分的，也就不存在所謂的無限小區間。自然也就無從談起瞬時速度，我們當然可以修改瞬時速度的概念，使其對應於最小時間區間內物體行進的路程，但至少按照現在概念來講，瞬時速度是不存在的。

數學相對於物理來講只是一個工具，利用數學，可以從已有的現象出發，進行合理的推導，而得出合理的結論，這沒問題。但當物理的發展與數學產生矛盾，而討論的又是一個物理量時，我認為應當以物理為準。瞬時速度的概念基於極限，而極限基於無限可分的假設，然而量子學提出並非無限可分。

如果僅對於宏觀世界來講，普朗克尺度實在過小，即使是其一千倍，一萬倍，我們人類都難以察覺，在這種情況下，將極小尺度時間下，物體的行進路程除以時間區間，近似等效於瞬時速度是可行的，可以接受的，其產生的誤差不會對現實有什麼影響。

笛卡爾在其著作《第一哲學沉思集》中，對上帝的證明一篇，提出了一個哲學思考的方法，從可以絕對確定真實存在的開始推導，因此提出「我思故我在」，意為既然我現在在思考，那我的思考一定是真實存在的。而在物理界，我認為應當從現實出發反推理論，而不是從理論出發強加於現實。

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心很累，我以為評論就在第二個應該不會有人看不到，沒想到真的就有人看不到，我只好本分地來修正回答了。

的確量子力學中沒有提出說時空不連續，而是一些試圖將相對論和量子力學結合起來的學說，例如量子引力學等提出時空可能也具有量子特性，但沒有實驗支持，這是我的鍋。

不過也沒有實驗證明時空確實是連續的，不然也就不會有不連續的假設了。總之論證並不完美，存在瑕疵，我很遺憾，雖然我並不認為結果有誤。具體可以參考評論。

這麼多的回答沒有一個靠譜的，且等老夫終結這個問題！

從本質上來說瞬時速度就是一個定義，把位移對時間的導數定義為瞬時速度。請注意，這裡並沒有什麼假設，只是一種人為的定義，就如同把一段時間內位移與時間長度的比值定義為平均速度一樣。首先，從微積分的角度講，基本函數都是可求導的，那麼對於每一個運動方程，也就是位移s對時間的t的函數，任意時刻to都對應一個導數，也就是說物體在任意時刻都有一個導數，我們把它定義為瞬時速度。這樣物體在每一個時刻都有一個與之相關的「瞬時速度」相對應。有了這個定義以後我們再來考察它有什麼作用。同樣拿平均速度做對比，當我們定義了物體的平均速度以後，我們發現，用這個平均速度去乘相應的時間段，我們就能算出來物體在這段時間內的位移，這是由數學關係決定的。同樣的，當我們按照之前的定義求出一個物體各個時刻的瞬時速度以後，我們發現，只要把這個導數不定積分，就能得到這個物體的運動方程，定積分的話，就得到某一段時間內的位移值。更神奇的是，如果你告訴我一個物體在某一段時間內瞬時速度始終是一個常數，那麼根據積分的相關知識，我們能得出物體在這段時間內的運動方程是線性的。這就是瞬時速度的全部性質。我們使用它時也僅僅在積分的意義上去使用。強調一點，瞬時速度的意義跟它的具體物理含義並沒有任何關係，純粹是由數學關係所決定的，我們是在這個數學關係的基礎上回過頭再去賦予它物理含義。至於那些無限接近，時間間隔越來越小等等的說法，我只能對目前的教育體系表示呵呵……

很像我對無理數的認識。上學時感覺無理數認識起來沒什麼困難，就按無限不循環理解就行。後來發現這很粗淺，然後逐漸發現無理數對於數系的意義，認識到無理數是有理數的極限。

速度的理解有類似的過程。速度從勻速直線運動引出，然後用來算平均速度，瞬時速度是平均速度的極限。

——————追加——————

對於科學上基本量和導出量的關係，並不是說基本量更基本，除去歷史因素，可能它更符合人類的認知。或許速度和質量一樣在自然界很真實，但人類理解質量會比速度更加容易。

瞬時速度就是某一點或者某一位置的速度。瞬時速度瞬時速率平均速度平均速率都有不同的意義的。另外，要想解釋清楚瞬時速度是平均速度的極限，最好先解釋清時刻是時間間隔的極限。

高中物理老師一枚，多交流。

某一時刻，物體相對於某一參考系的動能大小和方向

他的定義就是lim△s/△t（△t?0），可以看成一個數，其大小無限接近於s～t圖像上某點的斜率。在其×1s後就是1s走過的路程，×2s後就是2s走過的路程。因而物理里路程、時間的國際標準單位分別m、s，速度單位定義為m/s。

看了阿爾法微積分等答案。很好。想補充一點。

我們一直都把速度的極限解釋成：（1）關注點t的位置x；（2）變動點t+dt的位置x+dx；（3）求一個極限：dx/dt。

我覺得應該一開始就使用中間點的平均速度更為合理，更容易被學生理解，也更符合實際工程的應用。就是說，把速度的極限解釋成：（1）關注點t的位置x；（2）到達前和到達後的位置，x1和x2，對應t1=t-dt/2和t2=t+dt/2；（3）有一個位置變化dx=x2-x1;（4）求一個極限：dx/dt。

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任何物理概念, 都有不同層次的理解. 首先是概念, 平時的感性知識, 物理現象描述, 此概念與彼概念的聯繫與不同. 然後是它的定義和數學描述. 再有就是物理量的測量和計算. 對於不同的對象, 當然有不同的講解方法.

速度就是快慢. 一分鐘跑了400米就比跑200米快. 因而速度和時間,距離有關. 這是和別人比. 和自己比, 400米跑下來, 有時快, 有時慢, 每個瞬時都不同. 這就有了瞬時速度.

所以, 瞬時速度就是極短的時間裡頭的平均速度. 而平均速度就是以每個瞬間跑過的路程的累積用總的時間平均.

速度就是描述物體運動快慢的物理量，當然再加個方向，平均速度對應一段時間個物體在這一段時間內的位移，瞬時速度就對應指定的那個時間點和那個點的一丟丟位移……好像從初中到現在我都是這麼理解的