f(f(x))=(x+3)/(x+1) 求f（x）？

02-07

同學問我這道題，看懵了，網上也找不到答案……求幫忙

這叫分式線性變換,一般學到複分析的時候會接觸到...

不過說實話高中生雖然不懂背景但還是經常接觸 $x_{n+1}= frac{ax_n + b}{cx_n + d}$ 這種題...

反正......學到複分析總歸會懂的教材上都有我就不展開深層次內容了...

線性變換么...所以可以迭代迭代迭代求解

$f(x ) = frac{ax + b}{cx + d}$

當然線性是有條件的,不然就成了分式非線性變換GG了...

$Delta = frac{1}{2}left( {sqrt {a^2 – 2ad + 4bc + d^2} + a + d} ight)$

先驗證這個是分式線性變換:

代入數字算得: $Delta=sqrt{3}+1$ 所以確實是個分式線性變換...

那麼直接對矩陣開根號就行了

$sqrt{left( egin{array}{cc} 1 3 \ 1 1 \ end{array} ight)}=left( egin{array}{cc} -frac{1}{6} sqrt{3-3 i sqrt{2}} left(2 i+sqrt{2} ight) -sqrt{frac{3}{2}-frac{3 i}{sqrt{2}}} \ -sqrt{frac{1}{6} left(1-i sqrt{2} ight)} -frac{1}{6} sqrt{3-3 i sqrt{2}} left(2 i+sqrt{2} ight) \ end{array} ight)$

所以:

$egin{aligned} f(x)=frac{-frac{1}{6} sqrt{3-3 i sqrt{2}} left(sqrt{2}+2 i ight) x-sqrt{frac{3}{2}-frac{3 i}{sqrt{2}}}}{sqrt{frac{1}{6} left(1-i sqrt{2} ight)} (-x)-frac{1}{6} left(sqrt{2}+2 i ight) sqrt{3-3 i sqrt{2}}}\ =frac{3 sqrt{2}+left(sqrt{2}+2 i ight) x}{sqrt{2} x+2 i+sqrt{2}}=frac{left(1+i sqrt{2} ight) x+3}{x+i sqrt{2}+1}\ end{aligned}$

最後可以驗證一下:

半迭代的問題……隨便拿一個出來都是難題……

貼個鏈接

https://www.zhihu.com/question/25024134

不過對於這題來說找個特解並不難：

設g(x)=f(f(x))

不難求出迭代n次g(x)的表達式

再將n=1/2代入

再證明是否正確……

直接套公式好了。。。另外由wiki知這個問題叫做Rational difference equation

豬了個去：已知f(f(x))，在怎樣的條件下，可求f(x)？

當 $f(x)=frac{ax+b}{cx+d}$ 時 $f^n(x)={frac {a}{c}}+{frac {bc-ad}{c}}left[{frac {(cx-a+alpha )alpha ^{n-1}-(cx-a+eta )eta ^{n-1}}{(cx-a+alpha )alpha ^{n}-(cx-a+eta )eta ^{n}}} ight]$

其中 $alpha ={frac {a+d+{sqrt {(a-d)^{2}+4bc}}}{2}}$

$eta ={frac {a+d-{sqrt {(a-d)^{2}+4bc}}}{2}}$

由樓主知 $egin{matrix} a=1\ b=3 \c=1 \d=1 end{matrix}$ 代入得：

$egin{matrix} alpha=frac{2+sqrt{12}}{2}=1+sqrt{3} \ eta=frac{2-sqrt{12}}{2}=1-sqrt{3} end{matrix}$

因此

$f^{frac{1}{2}}(x)=1+2egin{bmatrix} frac{(x-1+alpha)alpha^{-frac{1}{2}}-(x-1+eta)eta^{-frac{1}{2}} }{(x-1+alpha)alpha^frac{1}{2}-(x-1+eta)eta^frac{1}{2}} end{bmatrix}$ 艾瑪開根號好啰嗦，不想做了。。。XD

這種迭代的題確實不好做。不過這題後面的形式比較簡單，是一個有理分式函數，為複分析裡面的莫比烏斯變換的特殊形式，而莫比烏斯變換的逆變換以及複合都是莫比烏斯變換，所以可以這麼求，令f=（x+b）/（cx+d），然後代入原方程求解即可。