想學習分形與混沌分析，請教如何入門？

02-07

只有一些微積分知識，會用r語言編程，請指教如何開始。

不知道為啥就喜歡推薦書, 不過看書是掌握一個領域最直接有效的方式

分形理論和混沌理論都是分析的很難很難的分支, 要想深入學習, 一些比微積分稍微深入一點的數學分析知識還是要掌握的.

必備基礎知識：

測度論, 概率論, 隨機過程, 動力學系統理論主要就是各態歷經(ergodic theory)

在閱讀必備基礎知識之前需要閱讀充足的數學分析內容：

1. Barry Simon 最近有出一套 A comprehensive Course in Analysis 內容非常完整包含了分析幾乎各個領域重點還是關注實分析和測度論部分當然適當地泛函和複分析肯定有益

2. Elias Stein 的傅里葉分析和實分析如果有興趣再把剩下的複分析和泛函分析看了，他的這套書真的真的不錯

分形理論：

分形理論主要是幾何測度論和隨機分形

Kenneth Falconer 寫過幾本書, 重點在分形的幾何性質, 作為入門還是不錯的

Fractal Geometry:mathematical foundations and applications

The geometry of fractal sets

Technics in fractal geometry

Mattila 的 Geometry of sets and measures in Euclidean spaces 是幾何測度論一個很全面的參考書, 而且也不是那麼抽象.

Rogers的 Hausdorff Meausures 和 Federer的 Geometrical measure theory 側重點就有點太抽象了, 當然如果可以的話, 讀下來肯定沒有壞處.

然後還有一些比較難的內容, 主要是一些現在的研究論文啥的:

Mike Hochman 的一些講義和研究論文:

Mike Hochman 是近些年分形和動力系統各態歷經的出色數學家, 他跟 Lindenstrauss和Furstenburg聯繫都挺緊密, 有菲爾茲的潛質.

Pablo Shmerkin:

Shmerkin, Pablo | Universidad Torcuato Di Tella 是Solomyak的學生, 跟Mike Hochman差不多

Boris Solomyak:

Boris Solomyaks Home Page 主要在Bernoulli convolution貢獻很大, 是分形領域很熱的分支.

當然有個別側重點在分形維度論的研究者:

Kenneth Falconer | Mathematics | St Andrews,

Jonathan Fraser

動力學系統, 各態歷經(混沌理論):

我把混沌理論用括弧括起來的意思不是混沌理論很不重要, 而是數學上的混沌理論大多是在動力學系統和各態歷經的研究下面的小分支, 一般的物理上混沌理論是比如說非線性Hamilton系統或者龐大基數的粒子相互作用系統, bifurcations, Lyapunov expansion之類的.

下面幾本書基本上足夠涵蓋的這方面的基礎了, 其實已經多於涵蓋了:

Einsiedler, Ward: Ergodic theory with a view towards number theory

Pesin: Dimension theory in dynamical systems

Katok, Hasselblatt: Introduction to modern theory of dynamical systems

Cornfeld, Fomin, Sinai: Ergodic theory and dynamical systems

上面的那些作者和比如說Lindenstrauss, Furstenburg 都是這方面的頂尖研究者, 去查查他們的個人主頁看看有啥研究論文讀讀看就是非常好的進階的學習.

隨機系統, 隨機方程, 隨機過程:

混沌理論某種程度上離不開概率模型, 所以想要深入了解一些概率論是必要的, Simon和Stein的分析的書裡面的測度論應該足夠了, 但是為了更好地掌握概率論, 一些直接一點的概率論書籍絕對沒有壞處:

Klenke: Probability theory: A comprehensive course 絕對夠了, 而且有足夠的是分析基礎這些應該都不難理解.

Yuval Peres Home Page 上面有一些不錯的關於布朗運動的書和講義, 還有一些概率論.

Homepage of Martin Hairer Martin Hairer 是2014年菲爾茲獎獲得者之一, 這上面有一些他的關於隨機方程和隨機過程的高級講義

Scott Sheffields Home Page Scott Sheffield是隨機曲面和隨機流形的大牛, 他的一些研究論文很值得一看.

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我覺得到這裡就已經可以了, 再多就基本上達到這方面的專家水準了, 如果不要求那麼高的話現在就可以停下來了.

偏科普的，推薦丁玖的《智者的困惑:混沌分形漫談》。

作者還寫了《數學之英文寫作》《親歷美國教育:三十年的體驗與思考》，有些內容也是相關的。