歐拉公式是怎麼發現的？證明感覺拿泰勒展開有一種欽定的意思，但不知道當初是怎麼發現的?

02-06

e的i theta對應複平面旋轉有什麼更深層次的原因導致這個結果嗎？

沒有任何這個意思

首先你應該想想 exp(z) sin(z) cos(z) 在複數域里要如何定義

要求函數可微的話就必然是那樣子了

怎麼發現的不知道，但更深層的原因大概是這個吧： $U(1) simeq SO(2)$

任何域上都可以定義指數函數，定義方式就是用的冪級數exp(A):＝∑A^n/n！

也就是說歐拉公式並不是被發現，而是把exp(iθ)定義為cos(θ)+i*sin(θ)

如果要從複平面旋轉來說的話，大概是因為可以建立一個exp(iθ)→(sin(θ),cos(θ);cos(θ),-sin(θ))的同構吧。

見歐拉《無窮分析引論》上冊

歐拉從極其自然的假設 $a^omega=1+psi$ （當 $omega$ 為無窮小時， $psi$ 也為無窮小）出發，經過繽紛莫測的初等運算最終導出了歐拉公式。這種簡單樸素的風格在古典文獻中非常普遍，但在「當代」文獻中極其罕見。

具體過程有時間再補。

其他李群李代數、微分函數方程、複變函數等導出方法和解釋則反映了歐拉公式的深刻和廣泛性。

下面是摘自張築生《新講》第一冊關於Euler公式的證明

由於我們常說的e^x是針對實數域而言的，所以我們首先要對複數域上的e^x進行定義，這和e^x在實數域上的定義是完全類似的

證明要用到一點關於複數的性質：

接下來我們就可以開始證明了：

在證明的過程中，我們可以看到，e^ix與三角函數的關係，本質上是複數與三角的關係

而複數與三角的關係是明顯的——我們通過觀察複平面，很自然的引入複數的極坐標表示。

如何通俗地解釋歐拉公式（e^πi+1=0）？ - UFO 的回答 - 知乎

這是我在另一個問題下的回答，可能放在這裡更合適。

我覺得歐拉應該不是通過泰勒展開發現歐拉公式的，當時泰勒展開並不流行。

回憶起《虛數的故事》裡面有這麼一段形式上的證明。

取f（x）=cosx+isinx，易知f（x）f（y）=f（x+y）。從函數方程的角度可以得（cāi）出f（x）是一個指數函數，設為f（x）=e^kx=cosx+isinx

求導

ke^kx=-sinx+icosx=i（isinx+cosx）=ie^kx

所以k=i。

這樣看吧，

對於簡諧振動：mx"=-kx，這一微分方程求解。

第一種：猜測，什麼函數求導兩次等於自己加負號呢？當然是三角函數啦。於是你很開心の用三角函數x(t)=Asin(wt+c)來描述簡諧運動。

第二種：處於某種好奇心，你想嘗試用手解一解這個簡單的微分方程。積分變數替換，分離變數兩邊做積分，一步一步解下來你竟然發現，得到的不是三角函數！

不是三角函數！

得到的是e^iwt

⊙_⊙……怎麼會這樣呢！

於是你開始思考……

對於方程，x"=-x，(m=k=1)

在給定 x(0)，和x(0)以後，方程的特解就確定了。

然後你把，x(t)=e^it代入方程，發現方程成立

再把，x(t)=isint+cost代入方程，發現方程也成立。

這隻能說明，這倆函數相等……

但你還是不能理解……

這究竟是為什麼呢(=^???^=)……

三角函數很直觀的說……

x(t)=e^it這是個什麼鬼(-_-)……

它和簡諧運動有關毛關係啊！

直到有一天你看到了複平面，想起了那在高一就已經學到了的勻速圓周運動……

或者

《複分析：可視化方法》

當初就是從泰勒展開，才發現的形式上的exp(iθ)=cos(θ)+i*sin(θ)，從而exp(iPi) +1 =1，震動了數學界，一起一大片爭議。後來才給出的嚴格證明。發現歷程就是這樣啊。題主說的欽定是什麼意思？