如何理解「累計前景理論」？

02-06

看書看的有點迷糊，也沒有比較簡明的解釋，前景理論和改進的累計前景理論有什麼區別？另外有解釋說根據這幅圖可以將ab區間作為參照點，累計前景的權重函數和前景理論又有什麼區別？在等級依賴期望效用中，等級是什麼意思？

謝邀。

要是邀我的都是這種問題該有多幸福！

OPT(original prospect theory)、CPT(cumulative prospect theory)和RDU(rank dependent utility)之間的關係其實蠻簡單：OPT不滿足一階隨機佔優，RDU是為了改進OPT的這個性質所給出的替代模型，CPT是兩者的綜合。

具體說：

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首先，OPT不滿足一階隨機佔優。Kahneman和Tversky(1979)的原文中就自己承認了OPT的這個不足，原文如下：

大概翻譯一下：由於前景理論違背了期望效用，所以一定會造成諸如動態一致性、偏好可傳遞性、隨機佔優等等性質的違背，這是「理性人」不會做的。但現實中，人們囿於理性的有限，可能不會發現這些問題。前景理論是怎麼違背隨機佔優的呢？假設有兩個gamble

$A=(x,p;y,q;0,1-p-q)$ ,
$B=(x,p;y,q;0,1-p-q)$ .

在這裡，假設 (i) $x>y$ ，(ii) $p>p$ ，(iii) $p+q=p+q$ 。這樣，如果一階隨機佔優成立，那麼必然有 $Asucc B$ 。

如果前景理論符合一階隨機佔優，那麼必有

$pi(p)v(x)+pi(q)v(y)>pi(p)v(x)+pi(q)v(y).$

整理一下，就有

$frac{pi(p)-pi(p)}{pi(q)-pi(q)}>frac{v(y)}{v(x)}.$

這裡的關鍵是所謂的weighting function的形狀，原文中給出了一個形狀

此處，橫軸是概率，縱軸是每個概率對應的決策權重，45度線表示決策權重完全等於概率的情況，實線是作者假想的weighting function。

注意：這裡的函數 $pi(cdot)$ 不是線性的！取 $(p,q)=(p-varepsilon,q+varepsilon)$ ，我們有

$egin{aligned} frac{pi(p)-pi(p)}{pi(q)-pi(q)}=frac{frac{pi(p)-pi(p)}{p-p}}{frac{pi(q)-pi(q)}{q-q}} ightarrowfrac{pi(p)}{pi(q)},quadvarepsilon ightarrow 0 end{aligned}$

這時候，如果函數 $pi(cdot)$ 是convex function，只要滿足 $p<q$ ，那麼必有

$frac{pi(p)-pi(p)}{pi(q)-pi(q)}< 1.$

而如果函數 $pi(cdot)$ 是線性的，上式取等號。注意，由 $x>y$ ，比值 $frac{v(y)}{v(x)}$ 理論上可以取區間 $(0,1)$ 上面的一切值，而且， $y ightarrow x$ 時這一比值無限接近於1，那麼此時就有

$frac{pi(p)-pi(p)}{pi(q)-pi(q)}lefrac{v(y)}{v(x)}.$

從而，一階隨機佔優違背。

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按理說，既然是行為經濟學嘛，違背了就違背了吧，但是這直接阻礙了前景理論在很多地方的應用。所以需要改進，於是就有了RDU。

說RDU之前，首先應該分析造成違背「一階隨機佔優"這個結果的原因是什麼。Kahneman和Tversky在原文裡面說的很清楚：因為給每個結果對應的概率進行賦權，與評價每個確定結果，這兩個過程是分離的。

那麼自然可以問一個問題，如果賦權與結果的「好壞」直接相關，這個問題是不是能夠解決呢？Quiggin (1982) 給出了一個替代性模型，就是所謂的RDU。

首先考慮連續分布彩票，如果彩票收益是一個隨機變數，服從概率分布 $F$ ，那麼根據期望效用理論：

$U(F)=int_{-infty}^{+infty}u(x)dF(x)=int_{-infty}^{+infty}u(x)f(x)dx$ ,

RDU在這裡面加入了一個「扭曲函數」 $W$ ，使得效用函數變成

$U(F)=int_{-infty}^{+infty}u(x)dW[F(x)]=int_{-infty}^{+infty}u(x)W[F(x)]f(x)dx$ ,

而OPT，不考慮參照依賴和損失厭惡，的效用函數是：

$U(F)=int_{-infty}^{+infty}u(x)pi[f(x)]dx$ 。

不知道是否能看出其中的不同，OPT的扭曲是直接作用於密度函數的，而RDU的扭曲是作用於分布函數的。而分布函數是排序依賴（題主所說的「等級依賴」）的

$F(x)=mathbb{P}(Xle x),$

所以叫「排序依賴」的期望效用函數。下圖是通常認為的RDU扭曲函數，虛線是期望效用（無扭曲）的情形。

注意：函數在分布函數接近0和1時最陡峭，導數最大，因而在決策中所佔的權重最大，也就是說，人們會給極壞的結果（尾部風險）和極好的結果賦予更大的權重。這目前是解釋人們為什麼要買彩票最好的答案。

如果彩票是離散的，那麼效用函數就可以寫成

$U(p_1,cdots,p_n)=w(p_1)u(x_1)+sum_{i=2}^{n}left[wleft(sum_{j=1}^ip_{j} ight)-wleft(sum_{j=1}^{i-1}p_{j} ight) ight]u(x_i).$ ,

其中一定要有 $x_1<x_2<cdots<x_n$ ，這才叫排序依賴。

下面驗證RDU滿足隨機佔優，在剛才的例子中，兩個彩票的support相同，都是 ${0,y,x}$ 。令 $u(0)=0$ （RDU的效用函數也滿足對正仿射變換封閉），那麼RDU滿足一階隨機佔優當且僅當：

$egin{aligned} [w(1-p)-w(1-p-q)]u(y)+[w(1)-w(1-p)]u(x)\ >[w(1-p)-w(1-p-q)]u(y)+[w(1)-w(1-p)]u(x)<br /> end{aligned}$

由於 $1-p-q=1-p-q$ ，整理之後得到，RDU滿足一階隨機佔優當且僅當

$frac{[w(1-p)-w(1)]-[w(1-p)-w(1)]}{w(1-p)-w(1-p)}=1>frac{v(y)}{v(x)}$ ，

看吧，一階隨機佔優神奇地滿足了。

據說，提出這個理論時，作者Quiggin只是一個本科生。

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CPT實際上綜合了OPT和RDU，使用了OPT的value function，也就是題主列出的第一張圖，而結合了RDU的概率賦權機制。於是，CPT的形式是

$V(F|r)=(1+mu)int_{-infty}^rv(x)dW[F(x)]+int_{r}^infty v(x)dW[F(x)].$

其中， $r$ 就是圖中的參照點，而對小於參照點的 $x$ ，模型多賦予一個權重 $mu$ ，表示損失厭惡。

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最後，題主的第二張圖是前景理論之前的一個版本的value function，而不是權重函數，這一版的前景理論中沒有扭曲函數，所以value function取得比較複雜。

它的作者，是大名鼎鼎的馬克維茨。

以上。