圖像直方圖均衡化和規定化是怎麼做的?

02-06

2017年11月9日更新：感謝知友 @羅maochun 指出了原文中的重要錯誤，現已更正。

----------------------------------

為簡化問題，僅討論灰度圖像的直方圖均衡。

設輸入圖像為二元函數 f(x, y) ，輸出圖像為二元函數 g(x, y)，顯然二者尺寸相等。我們知道，那些灰度值分布較為平均的圖像，通常對比度較高。比如，下圖中 g 的灰度較分散（有白的有灰的有黑的），所以對比度較高；f 的灰度很集中，所以顯得灰濛濛的。直方圖均衡的目的，就是對 f 進行處理產生 g，使得 g 的灰度值比 f 更分散。

怎麼做呢？如果我們有一個恰當的 灰度映射函數 T 就好了，它能把輸入灰度值 r 映射為輸出灰度值為 s，即 $s = T(r)$ 。假設圖像的灰度值連續，由黑到白取值為1～L中的實數。灰度映射函數 T 可能長這樣：

$s = T(r) = egin{cases} 1, r in [1, frac{L}{4}] cr 2r - frac{L}{2}, r in [frac{L}{4}, frac{3L}{4}] cr L, r in [frac{3L}{4} , L] end{cases}$

用圖形來表達就是：

對圖像施以該灰度映射，圖示如下：

看起來不錯。不過——

有一句老話叫做「具體問題具體分析」，這告訴我們：決不可能使用某個特定的 T 一勞永逸。那麼，有沒有辦法「自動地」根據實際情況生成 T 呢？答案是肯定的。請接著往下看。

設任意灰度值 t 在 f 中出現的概率為函數 $p_f(t)$ ，在 g 中出現的概率為函數 $p_g(t)$ 。這兩個函數均可以直接由圖像統計出來。然後，我們定義兩個函數

$S_f(n) = int_{1}^{n}p_f(t)dt$ （意義：f 中灰度值小於 n 的概率）

以及

$S_g(n) = int_{1}^{n}p_g(t)dt$ （意義：g 中灰度值小於 n 的概率）

那麼必然有

$S_f(r) = S_g[T(r)] Leftrightarrow S_f(r) = S_g(s) cdots cdots(1)$

為什麼呢？這是因為我們必須保證：原本比 r 暗的灰度，在變換後依然比 s 暗；原本比 r 亮的灰度，在變換後依然比 s 亮。如果連這一點都不能保證，那麼輸出的圖像就會黑白顛倒一團糟。

比方說，若 $r = 1/3$ ，變換後 $s = T(r) = 5/2$ 。那麼，f 中灰度值小於1/3的像素數目＝＝ g 中灰度值小於5/2的像素數目，用頻率估算概率，也就是 f 中灰度值小於1/3的概率＝＝ g 中灰度值小於5/2的概率。還不懂？看圖！

弄清楚上面的式子後，自然得到下面的式子（積分後就等於(1) ）：

$p_f(r) cdot dr = p_g(s) cdot ds cdotscdots (2)$

再接下來，如果我們令變換 $T(r) = L cdot S_f(r)$ ，那麼：

$egin{align} s = T(r) \ = L cdot S_f(r)\ = L cdot int_{1}^{r}p_f(t)dt \ Rightarrow frac{ds}{dr} = L cdot p_f(r) cdots cdots (3) end{align}$

其中的第三行，t 是積分變數，真正的自變數是積分上限 r。

由 (2)(3) 得

$p_g(s) = 1/L$

奇蹟出現了：g 中各灰度出現概率相等，為常數1/L。也就是說，各灰度被完全均攤了！

於是我們知道，無論輸入圖像是什麼，只要統計它之中各灰度值出現的概率 $p_f$ ，然後生成映射函數 $T(r) = L cdot S_f(r) = L cdot int_{1}^{r} p_f(t)dt$ ，剩下的事就是逐個映射圖中灰度即可。

現實中數字圖像的灰度值是離散的，對此我們只需略作修改。假設圖像最多含有 L 種灰度級，由黑到白依次編號為 $1, 2, cdots, L$ 。每個灰度級在 f 中出現的概率依次為 $p_f(1), p_f(2), cdots, p_f(L)$ ，在 g 中出現的概率依次為 $p_g(1), p_g(2), cdots, p_g(L)$ 。

函數定義改為： $S_f(n) = sum_{i=1}^{n}{p_f(i)}$ 以及 $S_g(n) = sum_{i=1}^{n}{p_g(i)}$ ，其餘同理。

可惜的是，在灰度值離散的情況下，r 和 s 均為整數，我們必須對映射結果取整，這導致 g 中各灰度值出現的概率未必相等。但是可以確定的是： g 的灰度級在一定程度上比 f 更分散了。

至於直方圖匹配呢，原理相同，只是多一步而已，詳見圖像處理教材，在此不再贅述。

參考資料：

Digital Image Processing (3rd Edition), R.C. Gonzalez and R.E. Woods

均衡化和規定化都是通過全局直方圖調節來改變圖像的對比度，其實就是根據一個表來做映射。均衡化一句話，就是拿圖像本身的累積分布表(cdf)來做映射。規定化就是圖像B拿圖像A的累積分布表(cdf)來做映射。個人理解，歡迎指正。

建議參考《數字圖像處理》。

數字圖像處理（第三版），電子工業出版社，p72-82