音樂的旋律有沒有窮盡的一天？
可以縮小範圍為好聽的旋律。
我們來算一個數，
假設我們只用C大調一個八度以內的do re mi fa So la si 和休止符寫一段8個小節，44拍的旋律，並且每個音符都是四分音符，那麼這段旋律一共有32個音符，所以這段旋律可能的結果就有8的32次方種
約等於8乘以10的28次方如果地球上70億人每個人每分鐘可以寫1條這樣的旋律，即每年每個人晝夜不停地可以寫出525600條各不重複的旋律，那麼把這麼多旋律寫完，需要215341億年的時間。
就7個音高帶上一個休止符一共8個音符，而且全是四分音符，寫一段極其簡單的旋律，都需要這麼多人晝夜不停地寫這麼久，
何況真正的音樂可以使用多於7個音高的，甚至使用升降音
何況真正的音樂，也不一定是8個小節，我可以寫數十個小節甚至數百個小節
何況真正的音樂可以使用除了四分音符以外的全音符，二分音符，八分音符，十六分音符，甚至三十六分音符……甚至三連音，五連音……
何況真正的音樂不一定是44拍，也可以是43拍或者86拍，甚至85拍等等，我如果高興甚至還可以用44拍寫到一半就轉成86拍等等
何況我可以把這首C大調的歌，我可以在任何一個地方轉成其他的11個大調中的任意一個，或者轉成12個小調中的任何一個，甚至我也可以整首歌裡面轉來轉去轉調好多次
如果考慮到以上這些因素，反正以我的能力是算不出到底有多少種可能的旋律，但是我可以估算，即使我們地球上每個人每分鐘寫一條旋律，甚至叫上三體人，歌者，歸零者這些文明一起寫，也會寫到宇宙熱寂也不可能把所有的旋律寫完。
=================================
當然，以上是只考慮音符可以以任意順序排列的胡亂寫法，其中必然有一部分根本不能構成旋律，或者有一些實際上是相同的。
如果我們只用著名的卡農和弦走向寫歌呢？
並且我們寫的歌音域在A2到G4之間（一般男生的音域）
即C大調的C G Am Em F C F G如果我們用42拍寫八個小節，每個小節一個和弦，每個小節兩個四分音符而且音高都是和弦的三個組成音之一，並且限制第一個音的高度在C3到B3之間的中音區，後面的音的高度在上一個音的最近一個八度以內（共可以有3個可用音高），沒有休止符。那麼這段旋律的可能結果為3的16次方即43046721種如果每個音符的時長都是8分音符，那麼就可能有3的32次方即1.85乘10的15次方種結果如果我們允許在任何位置使用休止符，那麼可能的結果就有4的32次方即1.84乘10的19次方種結果如果我們只限制在強拍使用和弦內音（並允許休止符），而弱拍允許使用其他音（限制在上一個音高的附近一個八度以內），則一共有4的16次方乘8的16次方，共有約1.2乘10的24次方種結果如果我們可以使用連音符號把任意相鄰的兩個音連起來（我們把可以穿插在任何位置的四分音符視為兩個同樣音高的八分音符用連音符號連接），那麼這個連音符號可以有15個位置可以放置，這15個位置都可以是有連音符號或者沒有連音符號，那麼連音符號的分布共有32768種，那麼結合上一個條件，則這段旋律共有約4乘10的28次方種結果雖然少了一半，但是沒個10萬億年也寫不完～～～
如果我們假設其中只有一億分之一的旋律，即4乘10的20次方在當下可以被稱之為「音樂」，其數量也遠超過目前世界上的音樂總數。這個數量需要地球上的70億人平均每人寫571.428億條旋律才可以做到，但那也只是滄海一粟，人們的審美總在變，剩下的一億分之99999999都有可能在未來的任何一個時期走向音樂舞台，所以根本沒有可能寫完。
什麼？你說其他的和弦走向？？？先把這個寫完再討論其他什麼4536451什麼1645，6415，4321，1564等等這些吧……
什麼？你說三連音，八六拍？算了吧，我真的很累了……
什麼？你說你想飆高音要我寫幾個C5給你？我聽不見……
什麼？你說七和弦，九和弦，十一和弦，十三和弦，掛留和弦，離調和弦？喵喵喵…………沒有，也不可能有，每當「好聽」的旋律被挖掘的差不多了的時候，音樂家們就會去挖掘、引領新的審美。
沒有。每一代人甚至幾代人的壽命都沒有音樂旋律會出現重複的周期長。哪怕重了，新一代的聽眾也不會發現。
沒有盡頭。但是好的音樂會變得越來越難寫！
其實自己曾經也想過這種事情，我認為，旋律其實還真是寫不完的。
是這樣，如果我在任何前人已經寫好的旋律後邊再加上一段自己寫的旋律，完全可以把這一條當作新的旋律了誒。雖然有一大截都是別人寫好的，但整體來看這也是新的嘛，畢竟出現了以前沒有出現過的東西。當然我完全可以不止在後邊加，我還可以在各種地方進行各種增刪修改等等。只要不是亂來，應該都不會難聽到哪去（可以靠人大腦一般喜歡把頻率相近的一組音當成旋律的特性耍點手段）。
前面只是說對純粹的一條旋律進行修改，完全不做什麼技術上的處理的話，理論上可以產生很多很多比較順耳的旋律的。如果再加上音色強弱休止等等情況，以及再用其他各位大神說的各種高級一些的技巧把旋律再修飾一下，那產生的可能性就更多了。這還沒加上演奏的時候演奏者突然靈機一動又加了個花，或者錯個音什麼的情況……
重要的是，音樂是不斷發展的。也許多年以後我們對於好聽的標準與現在又有了區別，那又會出現許多新的事情了。
所以我覺得音樂美就在這裡，千變萬化，可以從中讀出豐富的情感，能夠深入其中研究還真是一種樂趣。好聽的定義就可以比較主觀。旋律排列組合要考慮到音符時值，力度，調性，調式，我覺得是不會有窮盡的，音樂類型還會因此不斷豐富完善。正因如此，每個時代的主流和對好聽的定義也會變化，不變的就是永遠會有好聽的旋律。
這個世界上存在著定律這種東西，好聽的旋律自然有好聽的旋律定律這種東西，只是大多數人未發覺而已，如果說靈感是偶然迸發的，那麼定律就一定存在的，無論何時，什麼定律都是客觀存在的，所以，旋律千千萬萬，但是，若是恰好符合了好聽旋律的定律規則與要求，它就會好聽，很簡單的道理，如果知道為何好聽的旋律定律，是完全可以逆推出許許多多新的好聽的旋律，這點，你多慮了，創造者不會想不到的，所以，好聽的旋律完完全全是不會寫完的。
我認為流行歌曲的旋律被窮盡的一天已經不遠了。現在就有很多流行歌曲，本是原創的，但由於旋律和另一首作品太相似了，被懷疑抄襲。雖然樓上答主們列舉了音符排列組合的情況極多，但是只要旋律中有一句是相同的，甚至只是「聽起來有些像」，廣大樂盲群眾就有理由懷疑你是抄襲。「專業角度算個P，這兩首歌聽起來就是像，我們人多，你能把我們怎麼樣！你不就是一個寫歌的嗎！你算老幾！」
相比較之下可以先考慮歌名重複的可能性
有
是必然的但是...得很久很久很久很久很久很久很久很久很久很久很久很久很久很久很久以後吧先說說自己的觀點吧：不會（無關這些旋律是否會火）
這個問題看起來簡單，其實很難直接地回答。
首先根據題主的問題描述，想問的是「好聽的旋律」，而「好聽」的概念實際上是相對的，帶有主觀性的。所以我們不妨限制一下條件，比如「在某年代流行的某曲風音樂」中「好聽」（姑且以傳播熱度和受眾廣度來衡量）的旋律，從已過去的事實來看，那些時代的大熱歌曲還是能數得完的。所以可以說在這個條件下我們能聽到的「好聽」的旋律是有限的。但是這也並不代表後人如果再次涉獵這個領域的創作不能創作出新的「好聽」的旋律。
再把範圍放大點說，這個時代流行的這種音樂，好聽的就那幾首，到了下一個時代，新的音樂形式出現，可能以前不被認可為「好聽」或者還沒被發現的旋律會在新的背景下大放異彩，所以依然可以說「好聽」的旋律不會窮盡。
如果嫌範圍太大太空泛，我們也可以單單從一個旋律來說，在音樂創作上，一串簡單的三個音組成的旋律就可以通過八度變換，變調，節奏的改變（比如切分音）以及音色的改變等等方式創作出新的旋律，所以即使只從現有被發現的素材中，發掘出新的「好聽」的旋律的可能性也是很大的。
說一點題外話：
可能部分聽眾在接觸的同類型音樂作品多了以後會有一種「好聽的旋律聽起來都差不多」的感覺，確實，越是商業化的音樂形式，受到創作「定律」的影響越大（這裡不能簡單地把商業化和流行劃等號，舉個例子，我們現在所聽到的「古典音樂」，其實就是古典音樂家所處時代的「流行音樂」，但是時代背景並沒有賦予這些音樂太多的商業性）在這樣的定律影響下，為了寫出最可能迎合大眾口味，使其廣為傳唱的音樂，那麼音樂創作的指向性就更加明確，可能產生的「好聽」的旋律就被限制在一定範圍內了。但是（聽說這個時候都要有一個但是）樂觀地說，因為商業化音樂僅僅只是特定時期音樂的一小部分，雖然它在傳唱和受眾廣度上幾乎有絕對的優勢，稱得上是主流的音樂形式，但是不可否認還有很多不那麼廣為人知的，音樂性強於商業性的音樂形式正在快速發展，好聽的旋律也一定在不斷地被創作出來，只是需要時間與慧眼去發掘。
好像第一次寫這麼長的答案呢。誠惶誠恐。
以上。謝邀 音樂是人的情感，你覺得人的情感可以完全表達出來的話，它就是有窮的；
劉慈欣有一篇小說就是寫的類似的，叫詩云，不過裡面說的是靠窮舉法 能否把所有的詩寫完，很有意思可以看一看
我認為是沒有的，而且單說組合的話，不考慮美感也會有很多的。
對於人類是沒有窮盡的，但是對於個人是有窮盡的。
音樂不是由A4的440Hz標準音，八度之間是兩倍頻率，1200音分所決定而一成不變的。
也不是由各種調式中各音之間音程的關係或泛（無）調性中的音簇所決定而一成不變的。
更不是由主和弦、下屬和弦和屬和弦，所組成的和弦進行所決定而一成不變的。
音樂是情感的表達，也是氣氛的調節。
是心情的調節，也是無聊的食物。
是生命的意義，也是空氣的震動。
天了，今天學校布置的排比句作業好難。
回答的什麼玩意。
改幾個音確實是另一種排列組合，但這種極其相似的音樂是很容易被發現的。改兩個音說是原創，那大家都是大師了，沒有意義。同時，這種改變也是有限的，即使這個改變的方式，方法，結果非常多，但，仍然是有限的。
音色的不同組合是會給人不同的感覺，但是，依然能夠聽出是同樣的或是相似的。以及，這仍然是有限的。
音樂有無限的空間嗎？不至於，因為人耳聽見的範圍也是有限的